Tentukan hasil dari lim h->0 (f(x+h)-f(x))/h jika f(x)=4/x

-4/x^2

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk mencari turunan dari fungsi f(x) = 4/x menggunakan definisi turunan (turunan pertama).

Definisi turunan pertama dari sebuah fungsi f(x) adalah:
f'(x) = lim h->0 (f(x+h)-f(x))/h

Langkah 1: Tentukan f(x+h) untuk f(x) = 4/x.
Ganti x dengan (x+h) dalam fungsi:
f(x+h) = 4/(x+h)

Langkah 2: Substitusikan f(x+h) dan f(x) ke dalam definisi turunan:
f'(x) = lim h->0 [ (4/(x+h)) - (4/x) ] / h

Langkah 3: Sederhanakan ekspresi di dalam kurung dengan mencari penyebut bersama:
Penyebut bersama untuk 4/(x+h) dan 4/x adalah x(x+h).
4/(x+h) = 4x / (x(x+h))
4/x = 4(x+h) / (x(x+h))

Jadi, (4/(x+h)) - (4/x) = [4x - 4(x+h)] / (x(x+h))
= [4x - 4x - 4h] / (x(x+h))
= -4h / (x(x+h))

Langkah 4: Substitusikan kembali hasil penyederhanaan ke dalam limit:
f'(x) = lim h->0 [ (-4h / (x(x+h))) ] / h

Langkah 5: Sederhanakan ekspresi dengan membagi pembilang dengan h:
f'(x) = lim h->0 (-4h) / (h * x(x+h))
f'(x) = lim h->0 -4 / (x(x+h))

Langkah 6: Sekarang, substitusikan h = 0 ke dalam ekspresi yang tersisa:
f'(x) = -4 / (x(x+0))
f'(x) = -4 / (x*x)
f'(x) = -4 / x^2

Jadi, hasil dari lim h->0 (f(x+h)-f(x))/h jika f(x)=4/x adalah -4/x^2.