Tentukan hasil dariintegral(2x+3)(akar(x^2+3x+1)

Hasil integralnya adalah \(\frac{6}{17} (x^2+3x+1)^{17/6} + C\).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral \(\int (2x+3)\sqrt{x^2+3x+1} \sqrt[3]{(x^2+3x+1)} dx\), kita dapat menggunakan metode substitusi.

Misalkan \(u = x^2+3x+1\).
Kemudian, turunkan \(u\) terhadap \(x\): \(du = (2x+3)dx\).

Substitusikan \(u\) dan \(du\) ke dalam integral:
\(\int u \sqrt{u} \sqrt[3]{u} du\)

Sederhanakan bentuk \(\sqrt{u} \sqrt[3]{u}\):
\(\sqrt{u} = u^{1/2}\)
\(\sqrt[3]{u} = u^{1/3}\)

Maka, \(\sqrt{u} \sqrt[3]{u} = u^{1/2} \times u^{1/3} = u^{1/2 + 1/3} = u^{3/6 + 2/6} = u^{5/6}\).

Integral menjadi:
\(\int u \cdot u^{5/6} du = \int u^{1 + 5/6} du = \int u^{11/6} du\)

Sekarang, integralkan terhadap \(u\):
\(\int u^{11/6} du = \frac{u^{11/6 + 1}}{11/6 + 1} + C
= \frac{u^{11/6 + 6/6}}{11/6 + 6/6} + C
= \frac{u^{17/6}}{17/6} + C
= \frac{6}{17} u^{17/6} + C\)

Terakhir, substitusikan kembali \(u = x^2+3x+1\):
\(\frac{6}{17} (x^2+3x+1)^{17/6} + C\)

Jadi, hasil dari integral tersebut adalah \(\frac{6}{17} (x^2+3x+1)^{17/6} + C\).