Tentukan hasil integral setiap fungsi berikut. integral

Hasil integralnya adalah \(\frac{3}{2}\arcsin(x-1) - \frac{x+3}{2}\sqrt{2x-x^2} + C\).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral \(\int \frac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}} dx\), kita akan menggunakan substitusi yang diberikan: \(x-1 = \sin \theta\).

Langkah 1: Ubah ekspresi dalam integral berdasarkan substitusi.
Dari \(x-1 = \sin \theta\), kita dapatkan \(x = 1 + \sin \theta\).
Maka, \(dx = \cos \theta d\theta\).

Selanjutnya, kita perlu mengubah \(\sqrt{2x-x^2}\):
\(2x - x^2 = -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -((x-1)^2 - 1) = 1 - (x-1)^2\)
Substitusikan \((x-1)^2 = \sin^2 \theta\):
\(2x - x^2 = 1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta\)
Maka, \(\sqrt{2x-x^2} = \sqrt{\cos^2 \theta} = \cos \theta\) (dengan asumsi \(\cos \theta \ge 0\)).

Dan \(x^2 = (1 + \sin \theta)^2 = 1 + 2\sin \theta + \sin^2 \theta\).

Langkah 2: Substitusikan kembali ke dalam integral.
\(\int \frac{1 + 2\sin \theta + \sin^2 \theta}{\cos \theta} \cdot \cos \theta d\theta\)

Integral menjadi:
\(\int (1 + 2\sin \theta + \sin^2 \theta) d\theta\)

Kita tahu bahwa \(\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}\).

Jadi, integralnya adalah:
\(\int (1 + 2\sin \theta + \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}) d\theta\)

= \(\int (1 + \frac{1}{2} + 2\sin \theta - \frac{1}{2}\cos(2\theta)) d\theta\)

= \(\int (\frac{3}{2} + 2\sin \theta - \frac{1}{2}\cos(2\theta)) d\theta\)

Langkah 3: Integralkan setiap suku.
= \(\frac{3}{2}\theta - 2\cos \theta - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin(2\theta) + C\)

= \(\frac{3}{2}\theta - 2\cos \theta - \frac{1}{4}\sin(2\theta) + C\)

Langkah 4: Ubah kembali ke dalam variabel x.
Dari \(x-1 = \sin \theta\), maka \(\theta = \arcsin(x-1)\).
Dari \(1 - (x-1)^2 = \cos^2 \theta\), kita punya \(\cos \theta = \sqrt{1 - (x-1)^2} = \sqrt{1 - (x^2 - 2x + 1)} = \sqrt{2x - x^2}\).

Untuk \(\sin(2\theta)\), kita gunakan identitas \(\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta\).
\(\sin(2\theta) = 2(x-1)\sqrt{2x-x^2}\).

Maka, \(\frac{1}{4}\sin(2\theta) = \frac{1}{4} \cdot 2(x-1)\sqrt{2x-x^2} = \frac{1}{2}(x-1)\sqrt{2x-x^2}\).

Substitusikan kembali ke hasil integral:
= \(\frac{3}{2}\arcsin(x-1) - 2\sqrt{2x-x^2} - \frac{1}{2}(x-1)\sqrt{2x-x^2} + C\)

Kita bisa menyederhanakan suku-suku yang melibatkan \(\sqrt{2x-x^2}\):
-2√{2x-x^2} - (1/2)(x-1)√{2x-x^2}
= √{2x-x^2} [-2 - (1/2)(x-1)]
= √{2x-x^2} [-2 - x/2 + 1/2]
= √{2x-x^2} [-3/2 - x/2]
= - (3+x)/2 √{2x-x^2}

Jadi, hasil integralnya adalah:
\(\frac{3}{2}\arcsin(x-1) - \frac{x+3}{2}\sqrt{2x-x^2} + C\)