Tentukan hasil penjumlahan dari i^(2021) + i^(2020) +

1 + i

Pembahasan

Ini adalah deret geometri dengan suku pertama dan rasio yang melibatkan bilangan imajiner i.

Deretnya adalah: 1 + i + i^2 + i^3 + ... + i^2020 + i^2021

Sifat-sifat bilangan imajiner:
i^1 = i
i^2 = -1
i^3 = -i
i^4 = 1

Siklus pangkat i berulang setiap 4.

Untuk menjumlahkan deret ini, kita perlu melihat pola penjumlahannya.
1 + i + i^2 + i^3 = 1 + i + (-1) + (-i) = 0

Jadi, setiap empat suku berturut-turut dalam deret ini berjumlah 0.

Kita perlu menentukan berapa banyak kelompok empat suku yang ada dalam deret dari i^0 (yaitu 1) hingga i^2021.
Jumlah suku total = 2021 - 0 + 1 = 2022 suku.

Kita bagi jumlah suku dengan 4 untuk melihat berapa banyak kelompok penuh:
2022 / 4 = 505 sisa 2

Ini berarti ada 505 kelompok penuh yang masing-masing berjumlah 0, dan tersisa 2 suku terakhir.

Jumlah deret = (Jumlah 505 kelompok * 0) + sisa 2 suku terakhir.

Sisa 2 suku terakhir adalah suku ke-2020 dan suku ke-2021.
Namun, perlu diperhatikan bahwa deret dimulai dari suku ke-0 (yaitu 1) hingga suku ke-2021. Jadi, sisa suku adalah dua suku terakhir dari siklus setelah 505 kelompok penuh.

Mari kita periksa lagi:
Deretnya adalah 1 + i + i^2 + ... + i^2021.
Jumlah suku = 2022.

Kelompok 4 suku: (1 + i + i^2 + i^3) = 0
(i^4 + i^5 + i^6 + i^7) = 0, dan seterusnya.

Kita perlu mencari sisa dari 2022 dibagi 4.
2022 mod 4 = 2.

Ini berarti setelah mengelompokkan sebanyak 505 kali, akan tersisa 2 suku.
Suku-suku ini adalah dua suku pertama dalam siklus pangkat i, yaitu i^2020 dan i^2021.

Kita perlu mencari nilai dari i^2020 dan i^2021.
Untuk i^2020: 2020 mod 4 = 0, jadi i^2020 = i^4 = 1.
Untuk i^2021: 2021 mod 4 = 1, jadi i^2021 = i^1 = i.

Jadi, jumlah deret adalah jumlah dari 505 kelompok yang bernilai 0, ditambah dua suku terakhir yaitu 1 + i.

Jumlah = 0 + 1 + i = 1 + i.

Mari kita periksa kembali penentuan sisa suku. Jika ada 2022 suku, dan kita mengelompokkan 4 suku yang jumlahnya 0, maka 2022 = 4 * 505 + 2. Dua suku yang tersisa adalah suku ke-2021 dan suku ke-2022 dalam penomoran kita jika dimulai dari 1. Namun, deret dimulai dari i^0.

Jadi, 2022 suku tersebut adalah i^0, i^1, ..., i^2021.
Kelompok pertama: i^0, i^1, i^2, i^3 (jumlah 0)
Kelompok kedua: i^4, i^5, i^6, i^7 (jumlah 0)
... 
Kelompok ke-505 akan berakhir pada i^(4*504 + 3) = i^2019.

Sisa suku adalah suku setelah i^2019, yaitu i^2020 dan i^2021.

Nilai i^2020 = 1 (karena 2020 habis dibagi 4)
Nilai i^2021 = i (karena 2021 dibagi 4 sisa 1)

Jadi, hasil penjumlahannya adalah 1 + i.