Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut a.

a. {10^{\sqrt{2}/2}, 10^{-\sqrt{2}/2}}, b. {2}

Pembahasan

Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut:
a. 2log^2(x) = 1
Kita dapat menyederhanakan persamaan ini terlebih dahulu:
log^2(x) = 1/2
Mengambil akar kuadrat dari kedua sisi:
log(x) = \pm \sqrt{1/2}
log(x) = \pm 1/\sqrt{2}
log(x) = \pm \sqrt{2}/2
Ini berarti kita memiliki dua kemungkinan:
1) log(x) = \sqrt{2}/2
x = 10^{\sqrt{2}/2}
2) log(x) = -\sqrt{2}/2
x = 10^{-\sqrt{2}/2}
Untuk logaritma dengan basis 10, domainnya adalah x > 0. Kedua solusi yang diperoleh positif, sehingga keduanya valid.
Himpunan penyelesaian untuk a adalah {10^{\sqrt{2}/2}, 10^{-\sqrt{2}/2}}.

b. xlog(5x^2 - 8x) = 2
Pertama, kita perlu mengidentifikasi basis logaritma. Jika tidak ditulis, biasanya diasumsikan basis 10 atau basis e. Namun, di sini 'x' bertindak sebagai basis. Jadi, persamaan ini adalah logaritma dengan basis x.
Kita bisa menulis ulang persamaan ini dalam bentuk eksponensial: x^2 = 5x^2 - 8x.
Sekarang, kita selesaikan persamaan kuadrat ini:
5x^2 - x^2 - 8x = 0
4x^2 - 8x = 0
Faktorkan x:
x(4x - 8) = 0
Ini memberikan dua solusi potensial: x = 0 atau 4x - 8 = 0.
Jika 4x - 8 = 0, maka 4x = 8, sehingga x = 2.
Namun, kita harus mempertimbangkan syarat domain untuk logaritma:
1. Basis logaritma tidak boleh 1: x \ne 1.
2. Basis logaritma harus positif: x > 0.
3. Argumen logaritma harus positif: 5x^2 - 8x > 0.
Mari kita periksa solusi potensial kita:
- x = 0: Ini tidak memenuhi syarat basis logaritma (x > 0). Jadi, x = 0 bukan solusi.
- x = 2: Ini memenuhi syarat basis logaritma (x > 0 dan x \ne 1). Sekarang periksa argumen logaritma:
5(2)^2 - 8(2) = 5(4) - 16 = 20 - 16 = 4.
Karena 4 > 0, maka x = 2 adalah solusi yang valid.
Himpunan penyelesaian untuk b adalah {2}.