Tentukan himpunan penyelesaian dari tan 6 x=-(1)/(3) 3

Menentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tangen dalam interval yang diberikan.

Pembahasan

Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari tan(6x) = -(1/3)√3 dalam interval 0 ≤ x ≤ 180°, kita perlu mencari nilai-nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.

Persamaan yang diberikan adalah tan(6x) = -(1/3)√3.
Kita tahu bahwa nilai tangen yang bernilai negatif terdapat pada kuadran II dan IV.
Nilai sudut referensi untuk tan(θ) = (1/3)√3 adalah 30° (atau π/6 radian).

Karena tan(6x) negatif, maka 6x berada di kuadran II atau IV.

Kasus 1: 6x berada di kuadran II.
6x = 180° - 30° + n * 180°
6x = 150° + n * 180°
x = 150°/6 + n * 180°/6
x = 25° + n * 30°

Untuk n=0, x = 25°.
Untuk n=1, x = 25° + 30° = 55°.
Untuk n=2, x = 25° + 60° = 85°.
Untuk n=3, x = 25° + 90° = 115°.
Untuk n=4, x = 25° + 120° = 145°.
Untuk n=5, x = 25° + 150° = 175°.
Untuk n=6, x = 25° + 180° = 205° (di luar interval).

Kasus 2: 6x berada di kuadran IV.
6x = 360° - 30° + n * 180°
6x = 330° + n * 180°
x = 330°/6 + n * 180°/6
x = 55° + n * 30°

Untuk n=0, x = 55°.
Untuk n=1, x = 55° + 30° = 85°.
Untuk n=2, x = 55° + 60° = 115°.
Untuk n=3, x = 55° + 90° = 145°.
Untuk n=4, x = 55° + 120° = 175°.
Untuk n=5, x = 55° + 150° = 205° (di luar interval).

Perhatikan bahwa solusi dari Kasus 2 sudah tercakup dalam solusi Kasus 1 jika kita memulai dari n=1 untuk Kasus 1. Mari kita perbaiki pendekatan.

Nilai umum untuk tan(θ) = tan(α) adalah θ = α + n * 180°.
Kita tahu tan(150°) = -1/√3 = - (1/3)√3.
Jadi, tan(6x) = tan(150°).

Ini berarti:
6x = 150° + n * 180°
x = 150°/6 + n * 180°/6
x = 25° + n * 30°

Sekarang, kita cari nilai x dalam interval 0° ≤ x ≤ 180°:
Untuk n = 0: x = 25° + 0 * 30° = 25°.
Untuk n = 1: x = 25° + 1 * 30° = 55°.
Untuk n = 2: x = 25° + 2 * 30° = 85°.
Untuk n = 3: x = 25° + 3 * 30° = 115°.
Untuk n = 4: x = 25° + 4 * 30° = 145°.
Untuk n = 5: x = 25° + 5 * 30° = 175°.
Untuk n = 6: x = 25° + 6 * 30° = 205° (di luar interval).

Himpunan penyelesaiannya adalah {25°, 55°, 85°, 115°, 145°, 175°}.

Jawaban Ringkas:
Himpunan penyelesaiannya adalah {25°, 55°, 85°, 115°, 145°, 175°}.