Tentukan himpunan penyelesaian dari: |x-5|>=|2x+1|

Himpunan penyelesaiannya adalah -6 <= x <= 4/3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak |x-5| >= |2x+1|, kita dapat mengkuadratkan kedua sisi untuk menghilangkan nilai mutlak.

Kuadratkan kedua sisi:
(x-5)^2 >= (2x+1)^2

Jabarkan kedua sisi:
x^2 - 10x + 25 >= 4x^2 + 4x + 1

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk pertidaksamaan kuadrat:
0 >= 4x^2 - x^2 + 4x + 10x + 1 - 25
0 >= 3x^2 + 14x - 24

Atau bisa ditulis:
3x^2 + 14x - 24 <= 0

Selanjutnya, kita cari akar-akar dari persamaan kuadrat 3x^2 + 14x - 24 = 0 menggunakan rumus kuadratik x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a.
Di sini, a=3, b=14, c=-24.

x = [-14 ± sqrt(14^2 - 4 * 3 * -24)] / (2 * 3)
x = [-14 ± sqrt(196 + 288)] / 6
x = [-14 ± sqrt(484)] / 6
x = [-14 ± 22] / 6

Akar pertama (x1): x = (-14 + 22) / 6 = 8 / 6 = 4/3
Akar kedua (x2): x = (-14 - 22) / 6 = -36 / 6 = -6

Karena pertidaksamaan adalah 3x^2 + 14x - 24 <= 0, yang berarti kita mencari nilai x di mana parabola terbuka ke atas berada di bawah atau pada sumbu x, maka himpunan penyelesaiannya adalah antara kedua akar tersebut.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah -6 <= x <= 4/3.