Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear

Himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 1)}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear $5x-y=4$ dan $6x+y=7$ dengan metode substitusi dan eliminasi, kita akan mengikuti langkah-langkah berikut:

**Metode Eliminasi:**
Metode eliminasi bertujuan untuk menghilangkan salah satu variabel dengan menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan.
1. Tuliskan kedua persamaan:
   Persamaan (1): $5x - y = 4$
   Persamaan (2): $6x + y = 7$
2. Perhatikan bahwa koefisien $-y$ pada Persamaan (1) dan $+y$ pada Persamaan (2) adalah berlawanan. Dengan menjumlahkan kedua persamaan, variabel $y$ akan tereliminasi.
3. Jumlahkan Persamaan (1) dan Persamaan (2):
   $(5x - y) + (6x + y) = 4 + 7$
   $5x + 6x - y + y = 11$
   $11x = 11$
4. Selesaikan untuk $x$:
   $x = \frac{11}{11}$
   $x = 1$
5. Substitusikan nilai $x=1$ ke salah satu persamaan awal untuk menemukan nilai $y$. Mari kita gunakan Persamaan (1):
   $5x - y = 4$
   $5(1) - y = 4$
   $5 - y = 4$
6. Selesaikan untuk $y$:
   $-y = 4 - 5$
   $-y = -1$
   $y = 1$
Jadi, solusi menggunakan metode eliminasi adalah $x=1$ dan $y=1$.

**Metode Substitusi:**
Metode substitusi melibatkan penyelesaian salah satu persamaan untuk satu variabel, lalu mensubstitusikan ekspresi tersebut ke persamaan lainnya.
1. Pilih salah satu persamaan dan selesaikan untuk salah satu variabel. Mari kita selesaikan Persamaan (1) untuk $y$:
   $5x - y = 4$
   $-y = 4 - 5x$
   $y = 5x - 4$
2. Substitusikan ekspresi $y = 5x - 4$ ke Persamaan (2):
   $6x + y = 7$
   $6x + (5x - 4) = 7$
3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk $x$:
   $6x + 5x - 4 = 7$
   $11x - 4 = 7$
   $11x = 7 + 4$
   $11x = 11$
   $x = \frac{11}{11}$
   $x = 1$
4. Substitusikan nilai $x=1$ kembali ke ekspresi $y = 5x - 4$ yang kita dapatkan di langkah 1:
   $y = 5(1) - 4$
   $y = 5 - 4$
   $y = 1$
Jadi, solusi menggunakan metode substitusi juga adalah $x=1$ dan $y=1$.

**Himpunan Penyelesaian:**
Kedua metode memberikan hasil yang sama. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear ini adalah pasangan $(x, y)$ yang memenuhi kedua persamaan. Oleh karena itu, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 1)}.