Tentukan himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan

Himpunan penyelesaiannya adalah \((-\infty, -3] \cup (2, 6)\).

Pembahasan

Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \((x^2-3x-18)/((x-6)^2 (x-2))<=0\), kita perlu menganalisis tanda dari pembilang dan penyebut.

Pembilang: \(x^2-3x-18\)
Kita faktorkan pembilangnya: \((x-6)(x+3)\)

Penyebut: \((x-6)^2 (x-2)\)

Pertidaksamaan menjadi: \(((x-6)(x+3))/((x-6)^2 (x-2)) <= 0\)

Kita sederhanakan dengan membagi \((x-6)\) pada pembilang dan penyebut, namun perlu diingat bahwa \(x \neq 6\):
\((x+3)/((x-6)(x-2)) <= 0\)

Sekarang kita cari akar-akar dari pembilang dan penyebut:

Akar pembilang: \(x+3 = 0 \implies x = -3\)

Akar penyebut: \(x-6 = 0 \implies x = 6\) dan \(x-2 = 0 \implies x = 2\)

Kita uji tanda pada interval yang dibentuk oleh akar-akar tersebut: \(x = -3, x = 2, x = 6\).

Interval 1: \(x < -3\)
Ambil \(x = -4\): \((-4+3)/((-4-6)(-4-2)) = (-1)/((-10)(-6)) = -1/60 <= 0\). Tanda negatif.

Interval 2: \(-3 < x < 2\)
Ambil \(x = 0\): \((0+3)/((0-6)(0-2)) = (3)/((-6)(-2)) = 3/12 = 1/4 > 0\). Tanda positif.

Interval 3: \(2 < x < 6\)
Ambil \(x = 3\): \((3+3)/((3-6)(3-2)) = (6)/((-3)(1)) = 6/-3 = -2 <= 0\). Tanda negatif.

Interval 4: \(x > 6\)
Ambil \(x = 7\): \((7+3)/((7-6)(7-2)) = (10)/((1)(5)) = 10/5 = 2 > 0\). Tanda positif.

Kita mencari nilai yang \(<= 0\). Jadi, interval yang memenuhi adalah \(x < -3\) dan \(2 < x < 6\).

Namun, kita harus memperhatikan bahwa \(x \neq 6\) dan \(x \neq 2\) karena membuat penyebut nol. Juga, dari bentuk awal, \(x \neq 6\) karena penyebut \((x-6)^2\).

Karena pembilang \(x+3\) menjadi nol saat \(x = -3\), nilai \(x = -3\) termasuk dalam himpunan penyelesaian.

Karena penyebut \(x-6\) dan \(x-2\) tidak boleh nol, maka \(x=6\) dan \(x=2\) tidak termasuk dalam himpunan penyelesaian.

Himpunan penyelesaiannya adalah \(x <= -3\) atau \(2 < x < 6\).
Dalam notasi interval: \((-\infty, -3] \cup (2, 6)\).