Tentukan himpunan penyelesaian: |x+ 1| > |3x-5|

Himpunan penyelesaiannya adalah {x | 1 < x < 3}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak |x+1| > |3x-5|, kita dapat mengkuadratkan kedua sisi pertidaksamaan untuk menghilangkan nilai mutlak:

(x+1)^2 > (3x-5)^2

x^2 + 2x + 1 > 9x^2 - 30x + 25

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan pertidaksamaan kuadrat:

0 > 8x^2 - 32x + 24

Bagi seluruh pertidaksamaan dengan 8:

0 > x^2 - 4x + 3

Faktorkan pertidaksamaan kuadrat:

0 > (x-1)(x-3)

Untuk mencari himpunan penyelesaian, kita perlu menentukan interval di mana (x-1)(x-3) bernilai negatif. Titik kritisnya adalah x=1 dan x=3. Kita uji interval:

- Jika x < 1 (misal x=0): (0-1)(0-3) = (-1)(-3) = 3 > 0
- Jika 1 < x < 3 (misal x=2): (2-1)(2-3) = (1)(-1) = -1 < 0
- Jika x > 3 (misal x=4): (4-1)(4-3) = (3)(1) = 3 > 0

Jadi, pertidaksamaan terpenuhi ketika 1 < x < 3.

Himpunan penyelesaiannya adalah {x | 1 < x < 3}.