Tentukan hubungan antara matriks A = (0 8 -3 -8 0 9 3 -9 0)

B = -A

Pembahasan

Untuk menentukan hubungan antara matriks A dan B, mari kita periksa elemen-elemennya.

Matriks A:
A = 
[ 0  8 -3 ]
[-8  0  9 ]
[ 3 -9  0 ]

Matriks B:
B = 
[ 0 -8  3 ]
[ 8  0 -9 ]
[-3  9  0 ]

Mari kita bandingkan elemen-elemen yang bersesuaian:
- A[1,1] = 0, B[1,1] = 0
- A[1,2] = 8, B[1,2] = -8. Terlihat B[1,2] = -A[1,2]
- A[1,3] = -3, B[1,3] = 3. Terlihat B[1,3] = -A[1,3]
- A[2,1] = -8, B[2,1] = 8. Terlihat B[2,1] = -A[2,1]
- A[2,2] = 0, B[2,2] = 0
- A[2,3] = 9, B[2,3] = -9. Terlihat B[2,3] = -A[2,3]
- A[3,1] = 3, B[3,1] = -3. Terlihat B[3,1] = -A[3,1]
- A[3,2] = -9, B[3,2] = 9. Terlihat B[3,2] = -A[3,2]
- A[3,3] = 0, B[3,3] = 0

Dari perbandingan elemen-elemen tersebut, dapat disimpulkan bahwa setiap elemen pada matriks B adalah negatif dari elemen yang bersesuaian pada matriks A. Dengan kata lain, B = -A.

Matriks yang memiliki sifat B = -A disebut sebagai matriks anti-simetris (skew-symmetric matrix) jika elemen diagonalnya adalah nol dan elemen-elemen di luar diagonal memenuhi A[i,j] = -A[j,i]. Mari kita periksa apakah A adalah matriks anti-simetris.

Elemen diagonal A:
A[1,1]=0, A[2,2]=0, A[3,3]=0. (Memenuhi syarat)

Periksa A[i,j] = -A[j,i]:
- A[1,2] = 8, A[2,1] = -8. Maka A[1,2] = -A[2,1]. (Memenuhi)
- A[1,3] = -3, A[3,1] = 3. Maka A[1,3] = -A[3,1]. (Memenuhi)
- A[2,3] = 9, A[3,2] = -9. Maka A[2,3] = -A[3,2]. (Memenuhi)

Jadi, matriks A adalah matriks anti-simetris.

Karena B = -A, maka matriks B juga merupakan matriks anti-simetris (yaitu, -A adalah anti-simetris jika A adalah anti-simetris).

Hubungan antara matriks A dan matriks B adalah B adalah negatif dari A, atau B = -A.