Polinomial p(x) dibagi x^2-4 bersisa 3x-6 dan dibagi

a. Sisa pembagian p(x) oleh (x-2)(x+5) adalah 2x-4. b. Sisa pembagian p(x) oleh $x^2-x-6$ adalah 6x.

Pembahasan

a. Untuk menentukan sisa pembagian polinomial p(x) oleh (x-2)(x+5):
Karena pembaginya adalah polinomial berderajat 2, maka sisanya akan berderajat 1, kita misalkan sisa = ax + b.
Diketahui:
p(x) dibagi $x^2-4$ bersisa $3x-6$. Ini berarti $p(x) = (x^2-4) Q_1(x) + (3x-6)$.
Dari sini, kita dapatkan:
$p(2) = (2^2-4) Q_1(2) + (3(2)-6) = 0 * Q_1(2) + (6-6) = 0$.
$p(-2) = ((-2)^2-4) Q_1(-2) + (3(-2)-6) = 0 * Q_1(-2) + (-6-6) = -12$.

p(x) dibagi $x^2+2x-15$ bersisa $4x+6$. Ini berarti $p(x) = (x^2+2x-15) Q_2(x) + (4x+6)$.
$x^2+2x-15 = (x+5)(x-3)$.
Dari sini, kita dapatkan:
$p(-5) = ((-5)^2+2(-5)-15) Q_2(-5) + (4(-5)+6) = (25-10-15) Q_2(-5) + (-20+6) = 0 * Q_2(-5) - 14 = -14$.
$p(3) = (3^2+2(3)-15) Q_2(3) + (4(3)+6) = (9+6-15) Q_2(3) + (12+6) = 0 * Q_2(3) + 18 = 18$.

Sekarang kita gunakan informasi $p(2)=0$ dan $p(-5)=-14$ untuk mencari sisa pembagian p(x) oleh $(x-2)(x+5)$.
Misalkan $p(x) = (x-2)(x+5) Q_3(x) + (ax+b)$.
$p(2) = (2-2)(2+5) Q_3(2) + (a(2)+b) = 0 + 2a + b = 0$. Jadi, $2a+b=0$ (1).
$p(-5) = (-5-2)(-5+5) Q_3(-5) + (a(-5)+b) = 0 -5a + b = -14$. Jadi, $-5a+b=-14$ (2).
Kurangkan (1) dari (2):
$(-5a+b) - (2a+b) = -14 - 0$
$-7a = -14$
$a = 2$.
Substitusikan a=2 ke (1):
$2(2) + b = 0$
$4 + b = 0$
$b = -4$.
Jadi, sisa pembagian polinomial p(x) oleh $(x-2)(x+5)$ adalah $2x-4$.

b. Untuk menentukan sisa pembagian polinomial p(x) oleh $x^2-x-6$:
$x^2-x-6 = (x-3)(x+2)$.
Kita sudah punya informasi:
$p(-2) = -12$
$p(3) = 18$

Misalkan $p(x) = (x-3)(x+2) Q_4(x) + (cx+d)$.
$p(3) = (3-3)(3+2) Q_4(3) + (c(3)+d) = 0 + 3c + d = 18$. Jadi, $3c+d=18$ (3).
$p(-2) = (-2-3)(-2+2) Q_4(-2) + (c(-2)+d) = 0 -2c + d = -12$. Jadi, $-2c+d=-12$ (4).
Kurangkan (4) dari (3):
$(3c+d) - (-2c+d) = 18 - (-12)$
$5c = 30$
$c = 6$.
Substitusikan c=6 ke (3):
$3(6) + d = 18$
$18 + d = 18$
$d = 0$.
Jadi, sisa pembagian polinomial p(x) oleh $x^2-x-6$ adalah $6x$.