Tentukan integral berikut.integral x(x^2+3)^(-12/7) dx

Hasil integralnya adalah $-\frac{7}{10}(x^2+3)^{-\frac{5}{7}} + C$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral $\int x(x^2+3)^{-\frac{12}{7}} dx$, kita dapat menggunakan metode substitusi.
Misalkan $u = x^2+3$.
Maka, turunan dari $u$ terhadap $x$ adalah $\frac{du}{dx} = 2x$.
Ini berarti $du = 2x dx$, atau $x dx = \frac{1}{2} du$.

Sekarang, substitusikan $u$ dan $x dx$ ke dalam integral:
$\int x(x^2+3)^{-\frac{12}{7}} dx = \int (x^2+3)^{-\frac{12}{7}} (x dx)$
$= \int u^{-\frac{12}{7}} (\frac{1}{2} du)$
$= \frac{1}{2} \int u^{-\frac{12}{7}} du$

Gunakan aturan pangkat untuk integral, yaitu $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$, di mana $n \neq -1$.
Dalam kasus ini, $n = -\frac{12}{7}$.
$n+1 = -\frac{12}{7} + 1 = -\frac{12}{7} + \frac{7}{7} = -\frac{5}{7}$

Jadi, integralnya menjadi:
$= \frac{1}{2} \left( \frac{u^{-\frac{5}{7}}}{-\frac{5}{7}} \right) + C$
$= \frac{1}{2} \left( -\frac{7}{5} u^{-\frac{5}{7}} \right) + C$
$= -\frac{7}{10} u^{-\frac{5}{7}} + C$

Terakhir, substitusikan kembali $u = x^2+3$:
$= -\frac{7}{10} (x^2+3)^{-\frac{5}{7}} + C$