Tentukan integral dari fungsi berikut ini dengan

Integral dari x^2(2x-1)^5 dx menggunakan metode Tanzalin adalah (1/336)(2x-1)^6(2x+1)^2 + C.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral dari fungsi x^2(2x-1)^5 dx menggunakan teknik Tanzalin (juga dikenal sebagai metode integral parsial berulang atau tabular), kita perlu mengintegrasikan fungsi yang merupakan hasil perkalian dua fungsi. Metode Tanzalin sangat efektif ketika salah satu faktor dapat diturunkan berulang kali hingga menjadi nol, dan faktor lainnya dapat diintegrasikan berulang kali.

Mari kita identifikasi dua fungsi tersebut:
1. Fungsi yang akan diturunkan (u): u = x^2
2. Fungsi yang akan diintegrasikan (dv): dv = (2x-1)^5 dx

Langkah-langkah metode Tanzalin:
Buat dua kolom: satu untuk turunan (D) dan satu untuk integral (I).
Di kolom D, mulai dengan fungsi u dan turunkan berulang kali sampai hasilnya nol.
Di kolom I, mulai dengan dv dan integralkan berulang kali.

| D (Turunan dari u) | I (Integral dari dv) |
|--------------------|----------------------|
| x^2                | (2x-1)^5             |
| 2x                 | 1/12 (2x-1)^6        |
| 2                  | 1/84 (2x-1)^7        |
| 0                  | 1/672 (2x-1)^8       |

Untuk mendapatkan integralnya, kita kalikan suku-suku secara diagonal, dengan selang-seling tanda positif dan negatif, dimulai dari positif:

Integral = (+)(x^2) * (1/12 (2x-1)^6) + (-)(2x) * (1/84 (2x-1)^7) + (+)(2) * (1/672 (2x-1)^8) + C

Integral = (x^2 / 12) (2x-1)^6 - (2x / 84) (2x-1)^7 + (2 / 672) (2x-1)^8 + C

Kita bisa menyederhanakan koefisiennya:
Integral = (x^2 / 12) (2x-1)^6 - (x / 42) (2x-1)^7 + (1 / 336) (2x-1)^8 + C

Untuk penyederhanaan lebih lanjut, kita bisa mengeluarkan faktor (2x-1)^6:
Integral = (2x-1)^6 [ (x^2 / 12) - (x / 42) (2x-1) + (1 / 336) (2x-1)^2 ] + C

Mari kita sederhanakan ekspresi di dalam kurung siku:

(x^2 / 12) - (x/42)(2x-1) = (x^2 / 12) - (2x^2 / 42) + (x / 42)
= (x^2 / 12) - (x^2 / 21) + (x / 42)
Samakan penyebutnya menjadi 84:
= (7x^2 / 84) - (4x^2 / 84) + (2x / 84)
= (3x^2 + 2x) / 84

Sekarang tambahkan suku terakhir:
(3x^2 + 2x) / 84 + (1 / 336) (2x-1)^2
Samakan penyebutnya menjadi 336 (kalikan 4/4):
= 4(3x^2 + 2x) / 336 + (1 / 336) (4x^2 - 4x + 1)
= (12x^2 + 8x + 4x^2 - 4x + 1) / 336
= (16x^2 + 4x + 1) / 336

Jadi, hasil integralnya adalah:
Integral = (2x-1)^6 * [(16x^2 + 4x + 1) / 336] + C
Integral = (1/336) (2x-1)^6 (4x^2 + 4x + 1) + C

Perhatikan bahwa (4x^2 + 4x + 1) adalah kuadrat sempurna, yaitu (2x+1)^2.

Integral = (1/336) (2x-1)^6 (2x+1)^2 + C