Tentukan interval agar fungsi berikut naik atau

Fungsi naik pada $(-\sqrt{3}, 0) \cup (\sqrt{3}, \infty)$ dan turun pada $(-\infty, -\sqrt{3}) \cup (0, \sqrt{3})$.

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana fungsi $f(x) = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$ naik atau turun, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut, yaitu $f'(x)$.

Langkah 1: Cari turunan pertama $f'(x)$.
Menggunakan aturan kuosien $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, dengan $u = 1-x^2$ dan $v = (1+x^2)^2$.
Maka $u' = -2x$.
Untuk mencari $v'$, kita gunakan aturan rantai: $v' = 2(1+x^2)^1 \cdot (2x) = 4x(1+x^2)$.

Sehingga turunan pertama adalah:
$f'(x) = \frac{(-2x)(1+x^2)^2 - (1-x^2)(4x(1+x^2))}{((1+x^2)^2)^2}$
$f'(x) = \frac{-2x(1+x^2)^2 - 4x(1-x^2)(1+x^2)}{(1+x^2)^4}$

Kita bisa memfaktorkan $(1+x^2)$ dari pembilang:
$f'(x) = \frac{(1+x^2)[-2x(1+x^2) - 4x(1-x^2)]}{(1+x^2)^4}$
$f'(x) = \frac{-2x(1+x^2) - 4x(1-x^2)}{(1+x^2)^3}$
$f'(x) = \frac{-2x - 2x^3 - 4x + 4x^3}{(1+x^2)^3}$
$f'(x) = \frac{2x^3 - 6x}{(1+x^2)^3}$
$f'(x) = \frac{2x(x^2 - 3)}{(1+x^2)^3}$

Langkah 2: Tentukan kapan $f'(x) > 0$ (naik) dan kapan $f'(x) < 0$ (turun).
Karena $(1+x^2)^3$ selalu positif untuk semua nilai $x$ yang riil, tanda $f'(x)$ ditentukan oleh pembilangnya, yaitu $2x(x^2 - 3)$.

Titik kritis terjadi ketika $f'(x) = 0$, yaitu ketika $2x(x^2 - 3) = 0$.
Ini memberikan $x = 0$ atau $x^2 - 3 = 0$, yang berarti $x = \pm\sqrt{3}$.

Kita uji interval yang dibentuk oleh titik-titik kritis ini: $(-\infty, -\sqrt{3})$, $(-\sqrt{3}, 0)$, $(0, \sqrt{3})$, dan $(\sqrt{3}, \infty)$.

- Untuk $x < -\sqrt{3}$ (misal $x=-2$): $f'(-2) = \frac{2(-2)((-2)^2 - 3)}{(1+(-2)^2)^3} = \frac{-4(4-3)}{(1+4)^3} = \frac{-4}{125} < 0$. Fungsi turun.
- Untuk $-\sqrt{3} < x < 0$ (misal $x=-1$): $f'(-1) = \frac{2(-1)((-1)^2 - 3)}{(1+(-1)^2)^3} = \frac{-2(1-3)}{(1+1)^3} = \frac{-2(-2)}{8} = \frac{4}{8} > 0$. Fungsi naik.
- Untuk $0 < x < \sqrt{3}$ (misal $x=1$): $f'(1) = \frac{2(1)((1)^2 - 3)}{(1+(1)^2)^3} = \frac{2(1-3)}{(1+1)^3} = \frac{2(-2)}{8} = \frac{-4}{8} < 0$. Fungsi turun.
- Untuk $x > \sqrt{3}$ (misal $x=2$): $f'(2) = \frac{2(2)((2)^2 - 3)}{(1+(2)^2)^3} = \frac{4(4-3)}{(1+4)^3} = \frac{4}{125} > 0$. Fungsi naik.

Kesimpulan:
Fungsi $f(x)$ naik pada interval $(-\sqrt{3}, 0)$ dan $(\sqrt{3}, \infty)$.
Fungsi $f(x)$ turun pada interval $(-\infty, -\sqrt{3})$ dan $(0, \sqrt{3})$.