Tentukan interval fungsi naik dan fungsi turun dari fungsi

Fungsi naik pada interval x < 0 atau x > 4. Fungsi turun pada interval 0 < x < 4.

Pembahasan

Untuk menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun dari fungsi \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 7\), kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut, yaitu \(f'(x)\). Fungsi dikatakan naik jika \(f'(x) > 0\) dan turun jika \(f'(x) < 0\).

Langkah 1: Cari turunan pertama \(f'(x)\).
Turunan dari \(x^3\) adalah \(3x^2\).
Turunan dari \(-6x^2\) adalah \(-12x\).
Turunan dari \(7\) adalah \(0\).
Jadi, \(f'(x) = 3x^2 - 12x\).

Langkah 2: Tentukan interval fungsi naik dengan mencari kapan \(f'(x) > 0\).
\(3x^2 - 12x > 0\)
Faktorkan \(3x\): \(3x(x - 4) > 0\).
Untuk menemukan kapan ekspresi ini positif, kita cari akar-akarnya terlebih dahulu dengan menyamakan \(3x(x - 4) = 0\). Akarnya adalah \(x = 0\) dan \(x = 4\).
Sekarang kita uji interval:
- Jika \(x < 0\) (misal \(x = -1\)): \(3(-1)(-1 - 4) = (-3)(-5) = 15 > 0\). Jadi, fungsi naik.
- Jika \(0 < x < 4\) (misal \(x = 1\)): \(3(1)(1 - 4) = (3)(-3) = -9 < 0\). Jadi, fungsi turun.
- Jika \(x > 4\) (misal \(x = 5\)): \(3(5)(5 - 4) = (15)(1) = 15 > 0\). Jadi, fungsi naik.

Dengan demikian, interval fungsi naik adalah \(x < 0\) atau \(x > 4\).

Langkah 3: Tentukan interval fungsi turun dengan mencari kapan \(f'(x) < 0\).
Dari analisis di atas, \(f'(x) < 0\) ketika \(0 < x < 4\).

Jadi, interval fungsi naik adalah \((-\infty, 0)\) \(\cup\) \((4, \infty)\) dan interval fungsi turun adalah \((0, 4)\).