Tentukan kedudukan garis g: x+2y-3=0 terhadap lingkaran

Garis memotong lingkaran di dua titik.

Pembahasan

Untuk menentukan kedudukan garis g: x + 2y - 3 = 0 terhadap lingkaran x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0, kita perlu membandingkan jarak dari pusat lingkaran ke garis dengan jari-jari lingkaran.

Langkah 1: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran.
Persamaan lingkaran umum adalah (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, atau x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0.
Untuk lingkaran x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0:
Pusat (a, b) = (-g, -f)
2g = 4 => g = 2
2f = -6 => f = -3
Pusat lingkaran adalah (-2, 3).

Jari-jari (r) dihitung dengan rumus r = sqrt(g^2 + f^2 - c)
r = sqrt(2^2 + (-3)^2 - (-12))
r = sqrt(4 + 9 + 12)
r = sqrt(25)
r = 5.

Langkah 2: Tentukan jarak dari pusat lingkaran ke garis g.
Jarak dari titik (x0, y0) ke garis Ax + By + C = 0 diberikan oleh rumus:
d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)

Dalam kasus ini, titik (x0, y0) adalah pusat lingkaran (-2, 3) dan garis g adalah x + 2y - 3 = 0.
Jadi, A = 1, B = 2, C = -3, x0 = -2, y0 = 3.

d = |(1)(-2) + (2)(3) + (-3)| / sqrt(1^2 + 2^2)
d = |-2 + 6 - 3| / sqrt(1 + 4)
d = |1| / sqrt(5)
d = 1 / sqrt(5)

Langkah 3: Bandingkan jarak (d) dengan jari-jari (r).
Kita punya d = 1 / sqrt(5) dan r = 5.
Untuk membandingkan, kita bisa kuadratkan kedua nilai tersebut atau mengalikan d dengan sqrt(5).

d = 1 / sqrt(5) ≈ 1 / 2.236 ≈ 0.447
r = 5

Karena d < r (0.447 < 5), maka garis g memotong lingkaran di dua titik yang berbeda.