Tentukan nilai a, b, dan c yang memenuhi kesamaan limit

a=120, b=60, c=180

Pembahasan

Untuk menentukan nilai a, b, dan c, kita perlu menggunakan ekspansi deret Taylor untuk cos x dan sin x di sekitar x=0.

Ekspansi deret Taylor untuk cos x adalah: cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...
Ekspansi deret Taylor untuk sin x adalah: sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - ...

Substitusikan ekspansi ini ke dalam persamaan limit:
lim x->0 (x(a + b(1 - x^2/2! + x^4/4! - ...)) - c(x - x^3/3! + x^5/5! - ...))/(x^5) = 1

lim x->0 (ax + bx - bx^3/2! + bx^5/4! - ... - cx + cx^3/3! - cx^5/5! - ...)/(x^5) = 1

Kelompokkan suku-suku berdasarkan pangkat x:
lim x->0 ((a+b-c)x + (-b/2! + c/3!)x^3 + (b/4! - c/5!)x^5 + ...)/(x^5) = 1

Agar limit ini bernilai 1, koefisien dari x^5 harus bernilai 1, dan koefisien dari pangkat x yang lebih rendah harus bernilai 0.

Dari koefisien x:
a + b - c = 0  ...(1)

Dari koefisien x^3:
-b/2! + c/3! = 0
-b/2 + c/6 = 0
-3b + c = 0
c = 3b ...(2)

Dari koefisien x^5:
b/4! - c/5! = 1
b/24 - c/120 = 1
5b - c = 120 ...(3)

Substitusikan (2) ke dalam (1):
a + b - 3b = 0
a - 2b = 0
a = 2b ...(4)

Substitusikan (2) ke dalam (3):
5b - 3b = 120
2b = 120
b = 60

Dari (4):
a = 2b = 2 * 60 = 120

Dari (2):
c = 3b = 3 * 60 = 180

Jadi, nilai a = 120, b = 60, dan c = 180.