Tentukan nilai a dan b jika (2x^4+ax^3-9x^2+bx-4) habis

a = 5, b = 11

Pembahasan

Karena (2x^4+ax^3-9x^2+bx-4) habis dibagi oleh (2x^2+7x-4), maka sisa pembagiannya adalah nol. Kita dapat menggunakan metode pembagian polinomial atau teorema sisa.

Cara 1: Pembagian Polinomial
Kita bagi (2x^4+ax^3-9x^2+bx-4) dengan (2x^2+7x-4).

         x^2   + (a-7)/2 x   + (-9 - 7(a-7)/2 + 2) 
       ____________________________________________
2x^2+7x-4 | 2x^4 + ax^3 - 9x^2 + bx   - 4
          -(2x^4 + 7x^3 - 4x^2)
          _____________________
                (a-7)x^3 - 5x^2 + bx
              -((a-7)x^3 + 7(a-7)/2 x^2 - 4(a-7)/2 x)
              ____________________________
                     (-5 - 7(a-7)/2)x^2 + (b + 4(a-7)/2)x - 4
                     (-5 - (7a-49)/2)x^2 + (b + 2a - 14)x - 4
                     (( -10 - 7a + 49)/2)x^2 + (b + 2a - 14)x - 4
                     ((39 - 7a)/2)x^2 + (b + 2a - 14)x - 4

Agar habis dibagi, koefisien dari x^2 dan x pada sisa harus nol, dan konstanta harus sesuai.
Dari koefisien x^2:
(39 - 7a)/2 = 0  => 39 - 7a = 0 => 7a = 39 => a = 39/7

Dari koefisien x:
b + 2a - 14 = 0
b + 2(39/7) - 14 = 0
b + 78/7 - 98/7 = 0
b - 20/7 = 0
b = 20/7

Mari kita periksa dengan konstanta:
Jika a = 39/7 dan b = 20/7, maka hasil pembagiannya adalah:
x^2 + (39/7 - 7)/2 x + (-9 - 7(39/7-7)/2 + 2)
x^2 + (39/7 - 49/7)/2 x + (-9 - 7(-10/7)/2 + 2)
x^2 + (-10/7)/2 x + (-9 + 10/2 + 2)
x^2 - 5/7 x + (-9 + 5 + 2)
x^2 - 5/7 x - 2

Sekarang kita kalikan hasil pembagian dengan pembagi:
(x^2 - 5/7 x - 2)(2x^2 + 7x - 4)
= 2x^4 + 7x^3 - 4x^2 - (10/7)x^3 - (35/7)x^2 + (20/7)x - 4x^2 - 14x + 8
= 2x^4 + (7 - 10/7)x^3 + (-4 - 5 - 4)x^2 + (20/7 - 14)x + 8
= 2x^4 + (49/7 - 10/7)x^3 - 13x^2 + (20/7 - 98/7)x + 8
= 2x^4 + (39/7)x^3 - 13x^2 - (78/7)x + 8

Ini tidak cocok dengan polinomial awal. Ada kesalahan dalam perhitungan.

Cara 2: Menggunakan Akar Polinomial
Faktorkan pembagi: 2x^2 + 7x - 4 = (2x - 1)(x + 4).
Karena polinomial habis dibagi oleh (2x^2 + 7x - 4), maka polinomial tersebut juga habis dibagi oleh (2x - 1) dan (x + 4).

Akar-akar dari (2x - 1)(x + 4) adalah x = 1/2 dan x = -4.

Substitusikan x = 1/2 ke dalam polinomial:
2(1/2)^4 + a(1/2)^3 - 9(1/2)^2 + b(1/2) - 4 = 0
2(1/16) + a(1/8) - 9(1/4) + b/2 - 4 = 0
1/8 + a/8 - 9/4 + b/2 - 4 = 0
Kalikan dengan 8 untuk menghilangkan penyebut:
1 + a - 18 + 4b - 32 = 0
a + 4b - 49 = 0  => a + 4b = 49 (Persamaan 1)

Substitusikan x = -4 ke dalam polinomial:
2(-4)^4 + a(-4)^3 - 9(-4)^2 + b(-4) - 4 = 0
2(256) + a(-64) - 9(16) - 4b - 4 = 0
512 - 64a - 144 - 4b - 4 = 0
-64a - 4b + 364 = 0
Bagi dengan -4:
16a + b - 91 = 0 => 16a + b = 91 (Persamaan 2)

Sekarang kita punya sistem persamaan linear:
1) a + 4b = 49
2) 16a + b = 91

Kalikan Persamaan 2 dengan 4:
64a + 4b = 364
Kurangkan Persamaan 1 dari hasil ini:
(64a + 4b) - (a + 4b) = 364 - 49
63a = 315
a = 315 / 63
a = 5

Substitusikan nilai a = 5 ke Persamaan 1:
5 + 4b = 49
4b = 44
b = 11

Jadi, nilai a adalah 5 dan nilai b adalah 11.