Tentukan nilai A dan B jika y = sin x + B cos x memenuhi y"

Tidak ada nilai B yang memenuhi.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai A dan B jika y = sin x + B cos x memenuhi persamaan diferensial y" + y' - 2y = sin x, kita perlu mencari turunan pertama (y') dan turunan kedua (y") dari y, lalu substitusikan ke dalam persamaan diferensial.

1.  Cari turunan pertama (y'):
y = sin x + B cos x
y' = d/dx (sin x + B cos x)
y' = cos x + B(-sin x)
y' = cos x - B sin x

2.  Cari turunan kedua (y"): 
y'' = d/dx (cos x - B sin x)
y'' = -sin x - B(cos x)
y'' = -sin x - B cos x

3.  Substitusikan y, y', dan y" ke dalam persamaan diferensial y" + y' - 2y = sin x:
(-sin x - B cos x) + (cos x - B sin x) - 2(sin x + B cos x) = sin x

Kelompokkan suku-suku berdasarkan sin x dan cos x:

Suku sin x:
-sin x - B sin x - 2 sin x = sin x
(-1 - B - 2) sin x = sin x
(-3 - B) sin x = sin x

Suku cos x:
-B cos x + cos x - 2B cos x = 0  (karena tidak ada suku cos x di sisi kanan)
(-B + 1 - 2B) cos x = 0
(1 - 3B) cos x = 0

Sekarang kita punya dua persamaan:
(1) -3 - B = 1  (koefisien sin x di kedua sisi harus sama)
(2) 1 - 3B = 0  (koefisien cos x di kedua sisi harus sama)

Dari persamaan (1):
-B = 1 + 3
-B = 4
B = -4

Dari persamaan (2):
-3B = -1
B = 1/3

Karena kita mendapatkan dua nilai B yang berbeda dari kedua persamaan, ini menunjukkan bahwa tidak ada nilai A dan B yang dapat memenuhi persamaan diferensial tersebut dengan bentuk y = sin x + B cos x.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa y = A sin x + B cos x, maka kita akan mendapatkan solusi.
Mari kita periksa kembali pertanyaan. Pertanyaannya adalah menentukan nilai A dan B jika y = sin x + B cos x memenuhi y" + y' - 2y = sin x. Perhatikan bahwa bentuk y hanya memiliki suku sin x dengan koefisien 1, bukan A sin x.

Jadi, mari kita ulangi substitusi dengan y = sin x + B cos x:

y" + y' - 2y = sin x
(-sin x - B cos x) + (cos x - B sin x) - 2(sin x + B cos x) = sin x

Gabungkan suku sin x:
-sin x - B sin x - 2 sin x = (-1 - B - 2) sin x = (-3 - B) sin x

Gabungkan suku cos x:
-B cos x + cos x - 2B cos x = (1 - B - 2B) cos x = (1 - 3B) cos x

Jadi, persamaan menjadi:
(-3 - B) sin x + (1 - 3B) cos x = sin x

Agar persamaan ini berlaku untuk semua x, koefisien dari sin x di kedua sisi harus sama, dan koefisien dari cos x di kedua sisi harus sama.

Koefisien sin x:
-3 - B = 1
-B = 1 + 3
-B = 4
B = -4

Koefisien cos x:
1 - 3B = 0
-3B = -1
B = 1/3

Sekali lagi, kita mendapatkan dua nilai B yang berbeda (-4 dan 1/3). Ini berarti tidak ada nilai B tunggal yang memenuhi persamaan tersebut jika y = sin x + B cos x. Kemungkinan ada kesalahan dalam asumsi bentuk solusi atau dalam soal itu sendiri.

Jika kita mengasumsikan bentuk solusi adalah y = A sin x + B cos x, maka:
y = A sin x + B cos x
y' = A cos x - B sin x
y" = -A sin x - B cos x

Substitusi ke y" + y' - 2y = sin x:
(-A sin x - B cos x) + (A cos x - B sin x) - 2(A sin x + B cos x) = sin x

Kelompokkan sin x:
-A sin x - B sin x - 2A sin x = (-A - B - 2A) sin x = (-3A - B) sin x

Kelompokkan cos x:
-B cos x + A cos x - 2B cos x = (A - B - 2B) cos x = (A - 3B) cos x

Sehingga:
(-3A - B) sin x + (A - 3B) cos x = 1 sin x + 0 cos x

Samakan koefisien:
1) -3A - B = 1
2) A - 3B = 0

Dari persamaan (2), A = 3B.
Substitusikan A = 3B ke persamaan (1):
-3(3B) - B = 1
-9B - B = 1
-10B = 1
B = -1/10

Sekarang cari A:
A = 3B = 3(-1/10) = -3/10

Jadi, jika y = A sin x + B cos x, maka A = -3/10 dan B = -1/10.

Namun, soal menyatakan y = sin x + B cos x. Ini berarti A=1.
Mari kita cek apakah A=1 dan B=-4 memenuhi persamaan:
-3A - B = -3(1) - (-4) = -3 + 4 = 1 (Sesuai)
A - 3B = 1 - 3(-4) = 1 + 12 = 13 (Tidak sesuai, seharusnya 0)

Mari kita cek apakah A=1 dan B=1/3 memenuhi persamaan:
-3A - B = -3(1) - (1/3) = -3 - 1/3 = -10/3 (Tidak sesuai, seharusnya 1)
A - 3B = 1 - 3(1/3) = 1 - 1 = 0 (Sesuai)

Karena tidak ada nilai B tunggal yang dapat memenuhi kedua kondisi tersebut secara bersamaan untuk bentuk y = sin x + B cos x, maka tidak ada solusi untuk A=1 dan B.

Kesimpulan berdasarkan soal yang diberikan: Tidak ada nilai B yang memenuhi persamaan diferensial jika y = sin x + B cos x.