Tentukan nilai a dan b yang memenuhi: lim x-> 0 (a-cos

a=1 dan b=1/4

Pembahasan

Untuk menentukan nilai a dan b, kita gunakan aturan L'Hopital karena bentuk limitnya adalah 0/0.

lim x-> 0 (a-cos x)/(bx sin x)
Substitusikan x = 0: (a - cos 0) / (b * 0 * sin 0) = (a - 1) / 0.
Agar limitnya terdefinisi (menghasilkan nilai 2), maka pembilang juga harus nol, sehingga a - 1 = 0, yang berarti a = 1.

Sekarang limitnya menjadi: lim x-> 0 (1 - cos x) / (bx sin x)
Gunakan aturan L'Hopital lagi:
Turunan pembilang: d/dx (1 - cos x) = sin x
Turunan penyebut: d/dx (bx sin x) = b(sin x + x cos x)

Limitnya menjadi: lim x-> 0 (sin x) / (b(sin x + x cos x))
Substitusikan x = 0: sin 0 / (b(sin 0 + 0 * cos 0)) = 0 / 0.
Gunakan aturan L'Hopital lagi:
Turunan pembilang: d/dx (sin x) = cos x
Turunan penyebut: d/dx (b(sin x + x cos x)) = b(cos x + cos x - x sin x) = b(2 cos x - x sin x)

Limitnya menjadi: lim x-> 0 (cos x) / (b(2 cos x - x sin x))
Substitusikan x = 0: cos 0 / (b(2 cos 0 - 0 * sin 0)) = 1 / (b(2 * 1 - 0)) = 1 / (2b).

Karena nilai limitnya adalah 2, maka 1 / (2b) = 2, sehingga 1 = 4b, dan b = 1/4.

Jadi, nilai a = 1 dan b = 1/4.