Tentukan nilai a , jika x^2+y^2-6 x+ 8 y-a=0 menyinggung

a = 0

Pembahasan

Untuk menentukan nilai a, kita perlu menggunakan kondisi bahwa lingkaran menyinggung garis. Persamaan lingkaran adalah x^2 + y^2 - 6x + 8y - a = 0. Persamaan garis adalah 4y - 3x = 0 atau 3x - 4y = 0.

Langkah-langkahnya adalah:
1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan umum x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0.
   Pusat (P) = (-g, -f). Jari-jari (r) = sqrt(g^2 + f^2 - c).
   Dari persamaan x^2 + y^2 - 6x + 8y - a = 0:
   2g = -6 => g = -3
   2f = 8 => f = 4
   c = -a
   Pusat lingkaran = (3, -4).
   Jari-jari lingkaran = sqrt((-3)^2 + 4^2 - (-a)) = sqrt(9 + 16 + a) = sqrt(25 + a).

2. Gunakan rumus jarak dari titik ke garis untuk kondisi menyinggung.
   Jarak dari pusat lingkaran (x0, y0) ke garis Ax + By + C = 0 adalah |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2).
   Dalam kasus ini, (x0, y0) = (3, -4) dan garisnya adalah 3x - 4y = 0 (A=3, B=-4, C=0).
   Jarak = |3(3) - 4(-4) + 0| / sqrt(3^2 + (-4)^2)
   Jarak = |9 + 16| / sqrt(9 + 16)
   Jarak = |25| / sqrt(25)
   Jarak = 25 / 5
   Jarak = 5.

3. Agar lingkaran menyinggung garis, jarak dari pusat lingkaran ke garis harus sama dengan jari-jari lingkaran.
   Jarak = Jari-jari
   5 = sqrt(25 + a)

4. Kuadratkan kedua sisi untuk menemukan nilai a:
   5^2 = 25 + a
   25 = 25 + a
   a = 25 - 25
   a = 0.

Jadi, nilai a adalah 0.