Tentukan nilai dari: b. limit x->pi/2 (cos2x+1)/cosx d.

b. 0, d. 2

Pembahasan

Untuk soal d: limit x->pi/4 (csc^2 x - 2) / (cotx - 1)
Substitusi x = pi/4:
csc(pi/4) = sqrt(2), cot(pi/4) = 1.
Sehingga, ( (sqrt(2))^2 - 2 ) / (1 - 1) = (2 - 2) / 0 = 0/0.
Ini adalah bentuk tak tentu, sehingga kita perlu menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.
Menggunakan identitas trigonometri:
csc^2 x = 1 + cot^2 x
Jadi, limitnya menjadi: limit x->pi/4 (1 + cot^2 x - 2) / (cotx - 1)
= limit x->pi/4 (cot^2 x - 1) / (cotx - 1)
= limit x->pi/4 (cotx - 1)(cotx + 1) / (cotx - 1)
= limit x->pi/4 (cotx + 1)
Substitusi x = pi/4 kembali:
cot(pi/4) + 1 = 1 + 1 = 2.

Untuk soal b: limit x->pi/2 (cos 2x + 1) / cos x
Substitusi x = pi/2:
cos(2 * pi/2) = cos(pi) = -1.
cos(pi/2) = 0.
Jadi, (-1 + 1) / 0 = 0/0.
Ini adalah bentuk tak tentu. Menggunakan aturan L'Hopital:
Turunan dari cos 2x + 1 adalah -2 sin 2x.
Turunan dari cos x adalah -sin x.
Jadi, limitnya menjadi: limit x->pi/2 (-2 sin 2x) / (-sin x)
Substitusi x = pi/2:
(-2 sin(2 * pi/2)) / (-sin(pi/2)) = (-2 sin(pi)) / (-1) = (-2 * 0) / (-1) = 0 / -1 = 0.