Tentukan nilai dari fungsi limit berikut!lim t ->-2

Nilai limit fungsi tersebut adalah -5.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari limit fungsi $\lim_{t \to -2} \frac{t^3+t^2-8t-12}{t^2+4t+4}$, kita dapat mencoba substitusi langsung terlebih dahulu. Jika hasilnya adalah bentuk tak tentu (0/0), maka kita perlu menggunakan metode faktorisasi atau L'Hopital's Rule.

Substitusi langsung t = -2 ke dalam fungsi:

Pembilang: $(-2)^3 + (-2)^2 - 8(-2) - 12 = -8 + 4 + 16 - 12 = 0$

Penyebut: $(-2)^2 + 4(-2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$

Karena hasilnya adalah bentuk tak tentu 0/0, kita dapat memfaktorkan pembilang dan penyebut.

Penyebut $t^2 + 4t + 4$ adalah bentuk kuadrat sempurna, yaitu $(t+2)^2$.

Untuk pembilang $t^3 + t^2 - 8t - 12$, kita tahu bahwa (t+2) adalah salah satu faktornya karena substitusi t = -2 menghasilkan 0. Kita dapat menggunakan pembagian polinomial atau metode Horner untuk mencari faktor lainnya.

Menggunakan metode Horner dengan akar -2:

```
-2 | 1   1   -8   -12
   |    -2    2    12
   ------------------
     1  -1   -6     0
```

Hasilnya adalah $t^2 - t - 6$. Sekarang kita faktorkan $t^2 - t - 6$:
$t^2 - t - 6 = (t - 3)(t + 2)$

Jadi, pembilang dapat difaktorkan menjadi $(t+2)(t+2)(t-3) = (t+2)^2(t-3)$.

Sekarang kita substitusikan kembali faktor-faktor tersebut ke dalam limit:

$\lim_{t \to -2} \frac{(t+2)^2(t-3)}{(t+2)^2}$

Kita dapat membatalkan faktor $(t+2)^2$ karena $t \to -2$ berarti $t \neq -2$, sehingga $(t+2) \neq 0$.

$\lim_{t \to -2} (t-3)$

Sekarang substitusikan kembali t = -2:

-2 - 3 = -5

Jadi, nilai dari limit fungsi tersebut adalah -5.