Tentukan persamaan bayangan kurva x^2-2x+4y^2-28=0 oleh

$4x^2 + y^2 - 2y - 28 = 0$

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan bayangan kurva $x^2-2x+4y^2-28=0$ oleh refleksi terhadap sumbu y dilanjutkan pencerminan terhadap y=-x, kita perlu melakukan transformasi koordinat bertahap.

Langkah 1: Refleksi terhadap sumbu y.
Dalam refleksi terhadap sumbu y, koordinat x berubah menjadi -x, sedangkan koordinat y tetap. Jika $(x, y)$ adalah titik pada kurva asli, maka bayangannya setelah refleksi terhadap sumbu y adalah $(-x, y)$.
Misalkan koordinat bayangan adalah $(x', y')$. Maka, $x' = -x$ dan $y' = y$. Ini berarti $x = -x'$ dan $y = y'$.
Substitusikan $x = -x'$ dan $y = y'$ ke dalam persamaan kurva asli:
$(-x')^2 - 2(-x') + 4(y')^2 - 28 = 0$
$x'^2 + 2x' + 4y'^2 - 28 = 0$
Persamaan bayangan setelah refleksi terhadap sumbu y adalah $x^2 + 2x + 4y^2 - 28 = 0$ (mengganti $(x', y')$ kembali ke $(x, y)$).

Langkah 2: Pencerminan terhadap garis y = -x.
Dalam pencerminan terhadap garis y = -x, koordinat x dan y bertukar tempat dan keduanya dinegasikan. Jika $(x, y)$ adalah titik pada kurva hasil refleksi sumbu y, maka bayangannya setelah pencerminan terhadap y = -x adalah $(-y, -x)$.
Misalkan koordinat bayangan akhir adalah $(x'', y'')$. Maka, $x'' = -y$ dan $y'' = -x$. Ini berarti $y = -x''$ dan $x = -y''$.
Substitusikan $x = -y''$ dan $y = -x''$ ke dalam persamaan hasil refleksi sumbu y ($x^2 + 2x + 4y^2 - 28 = 0$):
$(-y'')^2 + 2(-y'') + 4(-x'')^2 - 28 = 0$
$y''^2 - 2y'' + 4x''^2 - 28 = 0$

Jadi, persamaan bayangan kurva setelah refleksi terhadap sumbu y dilanjutkan pencerminan terhadap y = -x adalah $4x^2 + y^2 - 2y - 28 = 0$.