Tentukan nilai dari lim

Nilai limitnya adalah 3/2.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x} - \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2+x})$, kita perlu menyederhanakan ekspresi tersebut. Karena kita berurusan dengan limit tak hingga dan selisih akar kuadrat, kita dapat menggunakan metode mengalikan dengan sekawan atau mengelompokkan suku-suku yang serupa.

Perhatikan bahwa suku-suku utama di bawah akar adalah $4x^2$ dan $x^2$ serta $x^2$. Ini menyarankan kita untuk mengelompokkan dua akar kuadrat yang memiliki suku $x^2$ yang sama terlebih dahulu.

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x} - (\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2+x}))$

Kita dapat memodifikasi ekspresi tersebut agar lebih mudah dikelola dengan mengeluarkan $x$ dari akar kuadrat. Ingat bahwa untuk $x \to \infty$, $x$ positif, sehingga $\sqrt{x^2} = x$.

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2(4 + \frac{8}{x})} - \sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x^2})})$
Untuk suku yang terakhir, kita akan mengalikannya dengan sekawannya terlebih dahulu jika kita tidak mengelompokkannya.

Mari kita coba mengalikan dengan sekawan untuk dua suku pertama:
$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x} - \sqrt{x^2+1})$
= $\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{4x^2+8x} - \sqrt{x^2+1})(\sqrt{4x^2+8x} + \sqrt{x^2+1})}{\sqrt{4x^2+8x} + \sqrt{x^2+1}}$
= $\lim_{x \to \infty} \frac{(4x^2+8x) - (x^2+1)}{\sqrt{4x^2+8x} + \sqrt{x^2+1}}$
= $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2+8x-1}{\sqrt{4x^2+8x} + \sqrt{x^2+1}}$

Ini masih belum menyelesaikan masalah karena kita masih memiliki suku kuadratik di pembilang dan akar kuadrat yang mendekati linier di penyebut.

Mari kita coba pendekatan lain dengan mengeluarkan faktor $x$ dari akar:
$\sqrt{4x^2+8x} = \sqrt{x^2(4 + \frac{8}{x})} = x \sqrt{4 + \frac{8}{x}}$
$\sqrt{x^2+1} = \sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x^2})} = x \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}$
$\sqrt{x^2+x} = \sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x})} = x \sqrt{1 + \frac{1}{x}}$

Jadi, ekspresi menjadi:
$\lim_{x \to \infty} x (\sqrt{4 + \frac{8}{x}} - \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} - \sqrt{1 + \frac{1}{x}})$

Ini masih berbentuk $\infty \times (2 - 1 - 1) = \infty \times 0$, yang merupakan bentuk tak tentu.

Mari kita coba mengelompokkan dua suku terakhir dan mengalikan dengan sekawannya terlebih dahulu:
$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x} - (\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2+x}))$
Kita akan mengalikan suku pertama dengan sekawannya dengan dirinya sendiri untuk memanipulasi bentuknya.

Perhatikan $\sqrt{4x^2+8x} = 2x\sqrt{1+\frac{2}{x}}$.
Kita akan menggunakan ekspansi binomial untuk $\sqrt{1+u} \approx 1 + \frac{1}{2}u$ untuk $u$ kecil.

Untuk $x \to \infty$, $\frac{8}{x}$ kecil.
$\sqrt{4x^2+8x} = 2x \sqrt{1+\frac{2}{x}} \approx 2x (1 + \frac{1}{2} \frac{2}{x}) = 2x (1 + \frac{1}{x}) = 2x + 2$.

Untuk suku kedua dan ketiga:
$\sqrt{x^2+1} = x \sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \approx x (1 + \frac{1}{2} \frac{1}{x^2}) = x + \frac{1}{2x}$.
$\sqrt{x^2+x} = x \sqrt{1+\frac{1}{x}} \approx x (1 + \frac{1}{2} \frac{1}{x}) = x + \frac{1}{2}$.

Jadi, ekspresi menjadi:
$\lim_{x \to \infty} ((2x+2) - (x+\frac{1}{2x}) - (x+\frac{1}{2}))$
$= \lim_{x \to \infty} (2x+2 - x - \frac{1}{2x} - x - \frac{1}{2})$
$= \lim_{x \to \infty} (2x - 2x + 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2x})$
$= \lim_{x \to \infty} (\frac{3}{2} - \frac{1}{2x})$

Saat $x \to \infty$, $\frac{1}{2x} \to 0$.

Maka, hasilnya adalah $\frac{3}{2}$.

Cara yang lebih formal adalah sebagai berikut:
Kita ingin menghitung $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x} - \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2+x})$.
Kita kelompokkan dua suku terakhir:
$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x} - (\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2+x}))$

Perhatikan bahwa $\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2+x} = \sqrt{x^2(1+\frac{1}{x^2})} + \sqrt{x^2(1+\frac{1}{x})} = x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + x\sqrt{1+\frac{1}{x}}$.

Sekarang kita manipulasi suku pertama:
$\sqrt{4x^2+8x} = \sqrt{4(x^2+2x)}$.
Ini tidak membantu.

Kita manipulasi agar suku di dalam akar memiliki bentuk yang sama, yaitu $x^2+ax$ atau konstanta.

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x} - \sqrt{x^2+x} - \sqrt{x^2+1})$
Kita akan menggunakan bentuk $\sqrt{A} - \sqrt{B} = \frac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}$.

Kelompokkan $\sqrt{4x^2+8x}$ dengan $-\sqrt{x^2+x}$:
$(\sqrt{4x^2+8x} - \sqrt{x^2+x}) = \frac{(4x^2+8x) - (x^2+x)}{\sqrt{4x^2+8x} + \sqrt{x^2+x}} = \frac{3x^2+7x}{\sqrt{4x^2+8x} + \sqrt{x^2+x}}$
Bagi pembilang dan penyebut dengan $x$: $\frac{3x+7}{\sqrt{4+\frac{8}{x}} + \sqrt{1+\frac{1}{x}}}$.
Limitnya saat $x \to \infty$ adalah $\frac{\infty}{\sqrt{4}+\sqrt{1}} = \frac{\infty}{3} = \infty$.
Ini tidak benar karena ekspresi asli mendekati nilai tertentu.

Kesalahan ada pada ekspansi binomial yang digunakan. Mari kita gunakan metode yang lebih hati-hati.

Kita perlu menghitung $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x} - \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2+x})$.

Kita dapat menulis ulang ini sebagai:
$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x} - 2\sqrt{x^2+\frac{1}{2}x} + 2\sqrt{x^2+\frac{1}{2}x} - \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2+x})$
Ini rumit.

Mari kita gunakan pengelompokan:
$\lim_{x \to \infty} [(\sqrt{4x^2+8x} - \sqrt{x^2+x}) - \sqrt{x^2+1}]$ atau $\lim_{x \to \infty} [(\sqrt{4x^2+8x} - \sqrt{x^2+1}) - \sqrt{x^2+x}]$

Coba $(\sqrt{4x^2+8x} - \sqrt{x^2+x})$:
$= \lim_{x \to \infty} \frac{(4x^2+8x) - (x^2+x)}{\sqrt{4x^2+8x} + \sqrt{x^2+x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2+7x}{\sqrt{4x^2+8x} + \sqrt{x^2+x}}$
Bagi pembilang dan penyebut dengan $x$: $\lim_{x \to \infty} \frac{3x+7}{\sqrt{4+\frac{8}{x}} + \sqrt{1+\frac{1}{x}}} = \frac{\infty}{2+1} = \infty$.
Ini masih salah.

Mari kita ubah bentuk ekspresi agar koefisien $x^2$ di dalam akar sama.
$\lim_{x \to \infty} (2\sqrt{x^2+2x} - \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2+x})$
Ini juga tidak membantu.

Kita perlu bentuk seperti $\sqrt{ax^2+bx+c} - \sqrt{ax^2+dx+e}$.

Mari kita kelompokkan suku-suku agar kita memiliki selisih dua akar kuadrat dengan suku $x^2$ yang sama.
$\lim_{x \to \infty} [(\sqrt{4x^2+8x} - \sqrt{4x^2+4x}) + (\sqrt{4x^2+4x} - \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2+x})]$ ???

Coba:
$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x} - \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2+x})$
$= \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x} - 2\sqrt{x^2+\frac{1}{2}x} + 2\sqrt{x^2+\frac{1}{2}x} - \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2+x})$

Mari kita perhatikan ekspresi $\sqrt{ax^2+bx+c} - \sqrt{ax^2+dx+e}$. Limitnya adalah $\frac{b-d}{2\sqrt{a}}$.

Kita punya $\sqrt{4x^2+8x}$. Ini setara dengan $2\sqrt{x^2+2x}$.

Maka, kita punya $\lim_{x \to \infty} (2\sqrt{x^2+2x} - \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2+x})$.

Kita perlu membuat suku-suku tersebut memiliki bentuk yang sama, misalnya $2\sqrt{x^2+2x}$.
Kita bisa menulis $-\sqrt{x^2+x} = -\sqrt{\frac{1}{4}(4x^2+4x)} = -\frac{1}{2}\sqrt{4x^2+4x}$.

Jadi, ekspresi menjadi:
$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x} - \frac{1}{2}\sqrt{4x^2+4x} - \sqrt{x^2+1})$

Sekarang kita kelompokkan:
$\lim_{x \to \infty} [ (\sqrt{4x^2+8x} - \frac{1}{2}\sqrt{4x^2+4x}) - \sqrt{x^2+1} ]$

Hitung limit bagian pertama:
$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x} - \frac{1}{2}\sqrt{4x^2+4x})$
$= \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{4x^2+8x} - \frac{1}{2}\sqrt{4x^2+4x})(\sqrt{4x^2+8x} + \frac{1}{2}\sqrt{4x^2+4x})}{\sqrt{4x^2+8x} + \frac{1}{2}\sqrt{4x^2+4x}}$
$= \lim_{x \to \infty} \frac{(4x^2+8x) - \frac{1}{4}(4x^2+4x)}{\sqrt{4x^2+8x} + \frac{1}{2}\sqrt{4x^2+4x}}$
$= \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2+8x - x^2-x}{\sqrt{4x^2+8x} + \frac{1}{2}\sqrt{4x^2+4x}}$
$= \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2+7x}{\sqrt{4x^2+8x} + \frac{1}{2}\sqrt{4x^2+4x}}$
Bagi pembilang dan penyebut dengan $x^2$: $\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{7}{x}}{\sqrt{4+\frac{8}{x}} + \frac{1}{2}\sqrt{4+\frac{4}{x}}} = \frac{3}{\sqrt{4} + \frac{1}{2}\sqrt{4}} = \frac{3}{2 + \frac{1}{2}(2)} = \frac{3}{2+1} = \frac{3}{3} = 1$.

Ini juga salah, karena jika hasil akhirnya 1, maka kita punya $1 - \lim \sqrt{x^2+1}$ yang menuju $-\infty$.

Mari kita gunakan ekspansi binomial secara benar.
$\sqrt{4x^2+8x} = 2x\sqrt{1+\frac{2}{x}} = 2x(1 + \frac{1}{2}(\frac{2}{x}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2!}(\frac{2}{x})^2 + ...)$ 
$= 2x(1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{8} \frac{4}{x^2} + ...) = 2x(1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + ...) = 2x + 2 - \frac{1}{x} + ...$

$\sqrt{x^2+1} = x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} = x(1 + \frac{1}{2}(\frac{1}{x^2}) + ...) = x + \frac{1}{2x} + ...$

$\sqrt{x^2+x} = x\sqrt{1+\frac{1}{x}} = x(1 + \frac{1}{2}(\frac{1}{x}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2!}(\frac{1}{x})^2 + ...) = x(1 + \frac{1}{2x} - \frac{1}{8x^2} + ...) = x + \frac{1}{2} - \frac{1}{8x} + ...$

Jadi, ekspresi menjadi:
$(2x + 2 - \frac{1}{x}) - (x + \frac{1}{2x}) - (x + \frac{1}{2} - \frac{1}{8x}) + ...$
$= 2x + 2 - \frac{1}{x} - x - \frac{1}{2x} - x - \frac{1}{2} + \frac{1}{8x} + ...$
$= (2x - x - x) + (2 - \frac{1}{2}) + (-\frac{1}{x} - \frac{1}{2x} + \frac{1}{8x}) + ...$
$= 0 + \frac{3}{2} + (-\frac{8}{8x} - \frac{4}{8x} + \frac{1}{8x}) + ...$
$= \frac{3}{2} + (-\frac{11}{8x}) + ...$

Mengambil limit saat $x \to \infty$, suku $-\frac{11}{8x}$ akan menuju 0.

Maka, hasilnya adalah $\frac{3}{2}$.

Untuk membuktikan dengan cara yang lebih formal tanpa ekspansi binomial:
Kita perlu menghitung $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x} - \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2+x})$.
Kita bisa menulis ulang sebagai:
$\lim_{x \to \infty} [\sqrt{4x^2+8x} - (\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2+x})]$.
Kita ingin membuat suku di dalam akar kuadrat memiliki bentuk yang serupa.
Perhatikan $4x^2+8x = (2x+2)^2 - 4 = 4x^2+8x+4-4$.
Ini juga tidak membantu.

Kita perlu membuat koefisien $x^2$ sama.
Kita punya $\sqrt{4x^2+8x}$. Ini adalah $2\sqrt{x^2+2x}$.
Kita bisa menulis $-\sqrt{x^2+1}$ dan $-\sqrt{x^2+x}$ sebagai bagian dari suku yang memiliki $x^2+2x$ atau yang serupa.

Mari kita coba:
$\lim_{x \to \infty} [ (\sqrt{4x^2+8x} - \sqrt{4x^2+4x}) + (\sqrt{4x^2+4x} - \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2+x}) ]$

Limit pertama: $(\sqrt{4x^2+8x} - \sqrt{4x^2+4x})$
$= \lim_{x \to \infty} \frac{(4x^2+8x) - (4x^2+4x)}{\sqrt{4x^2+8x} + \sqrt{4x^2+4x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x}{\sqrt{4x^2+8x} + \sqrt{4x^2+4x}}$
Bagi pembilang dan penyebut dengan $x$: $\lim_{x \to \infty} \frac{4}{\sqrt{4+\frac{8}{x}} + \sqrt{4+\frac{4}{x}}} = \frac{4}{\sqrt{4} + \sqrt{4}} = \frac{4}{2+2} = \frac{4}{4} = 1$.

Sekarang limit kedua:
$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+4x} - \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2+x})$
Kita perlu membuat bentuk $\sqrt{ax^2+bx+c}$.
Kita punya $\sqrt{4x^2+4x} = 2\sqrt{x^2+x}$.
Jadi, limit kedua adalah:
$\lim_{x \to \infty} (2\sqrt{x^2+x} - \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2+x})$
$= \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+x} - \sqrt{x^2+1})$
$= \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2+x) - (x^2+1)}{\sqrt{x^2+x} + \sqrt{x^2+1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{\sqrt{x^2+x} + \sqrt{x^2+1}}$
Bagi pembilang dan penyebut dengan $x$: $\lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.

Jadi, total limitnya adalah $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Ini adalah cara yang benar tanpa ekspansi binomial. Perlu hati-hati dalam memanipulasi suku-suku agar memiliki bentuk yang dapat dibandingkan.