Tentukan nilai dari limit berikut. limit x->pi/4 (cos

√2

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit x → π/4 dari (cos 2x)/(cos x - sin x), kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan.

Pertama, kita substitusikan x = π/4 ke dalam fungsi:
cos(2 * π/4) = cos(π/2) = 0
cos(π/4) - sin(π/4) = (√2)/2 - (√2)/2 = 0

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital, yang menyatakan bahwa limit dari f(x)/g(x) ketika x mendekati c adalah sama dengan limit dari f'(x)/g'(x) ketika x mendekati c.

Turunan dari pembilang (cos 2x) adalah -2 sin 2x.
Turunan dari penyebut (cos x - sin x) adalah -sin x - cos x.

Sekarang, kita hitung limit dari turunan tersebut ketika x → π/4:
limit x→π/4 (-2 sin 2x) / (-sin x - cos x)

Substitusikan x = π/4:
-2 sin(2 * π/4) = -2 sin(π/2) = -2 * 1 = -2
-sin(π/4) - cos(π/4) = -(√2)/2 - (√2)/2 = -2(√2)/2 = -√2

Jadi, nilai limitnya adalah -2 / -√2 = 2/√2 = √2.