Tentukan nilai dari limit x -> 0 (sin 3x+sin 2x)/(5x-tan

Nilai limitnya adalah 5.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x+\sin 2x}{5x-\tan 4x}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau sifat limit trigonometri.

**Metode 1: Menggunakan Sifat Limit Trigonometri**
Kita tahu bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}$ dan $\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{bx} = \frac{a}{b}$.

Bagi pembilang dan penyebut dengan $x$:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{x}+\frac{\sin 2x}{x}}{\frac{5x}{x}-\frac{\tan 4x}{x}} $$ 

Gunakan sifat limit:
$$ \frac{3+2}{5-4} = \frac{5}{1} = 5 $$ 

**Metode 2: Menggunakan Aturan L'Hopital**
Karena jika kita substitusi $x=0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital.
Turunkan pembilang dan penyebut secara terpisah:

Turunan pembilang: $\frac{d}{dx}(\sin 3x + \sin 2x) = 3\cos 3x + 2\cos 2x$
Turunan penyebut: $\frac{d}{dx}(5x - \tan 4x) = 5 - 4\sec^2 4x$

Sekarang substitusi $x=0$ ke dalam turunan:
$$ \frac{3\cos(0) + 2\cos(0)}{5 - 4\sec^2(0)} = \frac{3(1) + 2(1)}{5 - 4(1)^2} = \frac{3+2}{5-4} = \frac{5}{1} = 5 $$ 

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah 5.