Tentukan nilai dari limit x->0 (x^2 tan (2x))/(x - x cos

Nilai limitnya adalah 1/4.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari limit x->0 (x^2 tan (2x))/(x - x cos (4x)), kita bisa menggunakan beberapa teknik limit, termasuk menggunakan sifat limit trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan. 

Pertama, mari kita manipulasi ekspresi tersebut:
lim x->0 (x^2 tan (2x))/(x(1 - cos (4x)))
= lim x->0 (x tan (2x))/(1 - cos (4x))

Kita tahu bahwa tan(2x) = sin(2x)/cos(2x). Jadi,
= lim x->0 (x sin(2x))/(cos(2x)(1 - cos (4x)))

Sekarang, mari kita gunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan penyebut. Kita tahu bahwa 1 - cos(2A) = 2 sin^2(A). Jadi, 1 - cos(4x) = 2 sin^2(2x).

Substitusikan kembali ke dalam limit:
= lim x->0 (x sin(2x))/(cos(2x)(2 sin^2(2x)))

Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan sin(2x) (karena x mendekati 0, sin(2x) mendekati 0 tetapi tidak sama dengan 0):
= lim x->0 x / (2 cos(2x) sin(2x))

Sekarang, kita bisa menggunakan identitas 2 sin(A) cos(A) = sin(2A). Dalam kasus ini, 2 cos(2x) sin(2x) = sin(4x).
= lim x->0 x / sin(4x)

Untuk menyelesaikan limit ini, kita bisa mengalikan pembilang dan penyebut dengan 4x/4x:
= lim x->0 (x * (4x / 4x)) / sin(4x)
= lim x->0 (4x / sin(4x)) * (x / (4x))

Kita tahu bahwa lim y->0 (y / sin(y)) = 1. Dalam kasus ini, y = 4x, jadi lim x->0 (4x / sin(4x)) = 1.

Maka, limitnya menjadi:
= 1 * lim x->0 (x / (4x))
= 1 * lim x->0 (1/4)
= 1/4

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah 1/4.