Tentukan nilai dy/dx pada titik yang ditetapkan dari

dy/dx = π/3 - (π^2 cos^2(3/π) / (12 sin(3/π)))

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dy/dx pada titik (3, π) dari ekspresi implisit sec(x/y) = √(x+1), kita perlu menggunakan diferensiasi implisit.

Langkah 1: Diferensiasikan kedua sisi persamaan terhadap x, dengan mengingat bahwa y adalah fungsi dari x (y(x)).

Menggunakan aturan rantai untuk sec(x/y):
d/dx [sec(x/y)] = sec(x/y) tan(x/y) * d/dx [x/y]

Untuk d/dx [x/y], gunakan aturan kuosien:
d/dx [x/y] = [(y * d/dx(x)) - (x * d/dx(y))] / y^2
= [(y * 1) - (x * dy/dx)] / y^2
= (y - x dy/dx) / y^2

Jadi, sisi kiri menjadi: sec(x/y) tan(x/y) * (y - x dy/dx) / y^2

Menggunakan aturan rantai untuk √(x+1):
d/dx [√(x+1)] = d/dx [(x+1)^(1/2)]
= (1/2)(x+1)^(-1/2) * d/dx(x+1)
= (1/2)(x+1)^(-1/2) * 1
= 1 / (2√(x+1))

Langkah 2: Samakan kedua sisi yang telah didiferensiasi:
sec(x/y) tan(x/y) * (y - x dy/dx) / y^2 = 1 / (2√(x+1))

Langkah 3: Substitusikan titik (3, π) ke dalam persamaan.
Kita perlu menghitung x/y terlebih dahulu: x/y = 3/π.

sec(3/π) tan(3/π) * (π - 3 dy/dx) / π^2 = 1 / (2√(3+1))
sec(3/π) tan(3/π) * (π - 3 dy/dx) / π^2 = 1 / (2√4)
sec(3/π) tan(3/π) * (π - 3 dy/dx) / π^2 = 1 / (2 * 2)
sec(3/π) tan(3/π) * (π - 3 dy/dx) / π^2 = 1 / 4

Langkah 4: Selesaikan untuk dy/dx.
Kalikan kedua sisi dengan π^2 / [sec(3/π) tan(3/π)]:
(π - 3 dy/dx) = π^2 / (4 sec(3/π) tan(3/π))

Ingat bahwa sec(θ) = 1/cos(θ) dan tan(θ) = sin(θ)/cos(θ).
Jadi, sec(3/π) tan(3/π) = (1/cos(3/π)) * (sin(3/π)/cos(3/π)) = sin(3/π) / cos^2(3/π)

(π - 3 dy/dx) = π^2 cos^2(3/π) / (4 sin(3/π))

Pindahkan suku π:
-3 dy/dx = [π^2 cos^2(3/π) / (4 sin(3/π))] - π

Bagi dengan -3:
dy/dx = - (π^2 cos^2(3/π) / (12 sin(3/π))) + (π / 3)

Atau bisa ditulis sebagai:
dy/dx = π/3 - (π^2 cos^2(3/π) / (12 sin(3/π)))

Ini adalah nilai dy/dx pada titik yang ditetapkan.