Nilai dari -(1)/(8) cos (3 pi)/(8) cos (pi)/(8) sin

-1/64

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri.

Soal: -(1)/(8) cos (3 pi)/(8) cos (pi)/(8) sin (pi)/(8) sin (3 pi)/(8)

Kita bisa memanfaatkan identitas:
1. sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ)
2. cos(2θ) = 2 cos^2(θ) - 1 = 1 - 2 sin^2(θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ)
3. sin(A)sin(B) = 1/2 [cos(A-B) - cos(A+B)]
4. cos(A)cos(B) = 1/2 [cos(A-B) + cos(A+B)]

Mari kita kelompokkan suku-sukunya:
-(1)/(8) [cos (3 pi)/(8) cos (pi)/(8)] [sin (pi)/(8) sin (3 pi)/(8)]

Kita bisa gunakan identitas sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ).
Perhatikan suku sin(pi/8) sin(3pi/8).
Kita bisa tulis ulang sebagai:
sin(pi/8) sin(3pi/8) = 1/2 [cos(pi/8 - 3pi/8) - cos(pi/8 + 3pi/8)]
= 1/2 [cos(-2pi/8) - cos(4pi/8)]
= 1/2 [cos(-pi/4) - cos(pi/2)]
Karena cos(-θ) = cos(θ), maka cos(-pi/4) = cos(pi/4) = sqrt(2)/2.
Dan cos(pi/2) = 0.
Jadi, sin(pi/8) sin(3pi/8) = 1/2 [sqrt(2)/2 - 0] = sqrt(2)/4.

Sekarang perhatikan suku cos(3pi/8) cos(pi/8).
Kita bisa gunakan identitas cos(A)cos(B) = 1/2 [cos(A-B) + cos(A+B)]
cos(3pi/8) cos(pi/8) = 1/2 [cos(3pi/8 - pi/8) + cos(3pi/8 + pi/8)]
= 1/2 [cos(2pi/8) + cos(4pi/8)]
= 1/2 [cos(pi/4) + cos(pi/2)]
= 1/2 [sqrt(2)/2 + 0]
= sqrt(2)/4.

Sekarang substitusikan kembali ke soal awal:
-(1)/(8) [sqrt(2)/4] [sqrt(2)/4]
= -(1)/(8) [ (sqrt(2) * sqrt(2)) / (4 * 4) ]
= -(1)/(8) [ 2 / 16 ]
= -(1)/(8) [ 1 / 8 ]
= -1/64

Mari kita coba cara lain dengan mengelompokkan sin dan cos:
-(1)/(8) cos (3 pi)/(8) cos (pi)/(8) sin (pi)/(8) sin (3 pi)/(8)
= -(1)/(8) [cos (3 pi)/(8) sin (3 pi)/(8)] [cos (pi)/(8) sin (pi)/(8)]

Gunakan identitas sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ), atau sin(θ) cos(θ) = 1/2 sin(2θ).

Untuk [cos (3 pi)/(8) sin (3 pi)/(8)]:
Ini sama dengan 1/2 sin(2 * 3pi/8) = 1/2 sin(3pi/4).
Nilai sin(3pi/4) = sin(135 derajat) = sin(180 - 45) = sin(45) = sqrt(2)/2.
Jadi, 1/2 sin(3pi/4) = 1/2 * (sqrt(2)/2) = sqrt(2)/4.

Untuk [cos (pi)/(8) sin (pi)/(8)]:
Ini sama dengan 1/2 sin(2 * pi/8) = 1/2 sin(pi/4).
Nilai sin(pi/4) = sqrt(2)/2.
Jadi, 1/2 sin(pi/4) = 1/2 * (sqrt(2)/2) = sqrt(2)/4.

Substitusikan kembali ke soal:
-(1)/(8) * [sqrt(2)/4] * [sqrt(2)/4]
= -(1)/(8) * (2/16)
= -(1)/(8) * (1/8)
= -1/64

Sepertinya ada kesalahan dalam soal atau pilihan jawaban yang diberikan karena hasil yang didapatkan adalah -1/64, bukan salah satu dari pilihan yang umum ditemui pada soal serupa. Namun, jika kita mengikuti langkah-langkah secara matematis, hasilnya adalah -1/64.

Mari kita periksa kembali jika ada identitas lain yang bisa digunakan.
Kita tahu bahwa cos(pi/2 - x) = sin(x).
Misal x = pi/8, maka cos(pi/2 - pi/8) = cos(3pi/8) = sin(pi/8).
Dan cos(pi/2 - 3pi/8) = cos(5pi/8) = sin(3pi/8).

Soal: -(1)/(8) cos (3 pi)/(8) cos (pi)/(8) sin (pi)/(8) sin (3 pi)/(8)
Substitusi cos(3pi/8) = sin(pi/8):
-(1)/(8) sin (pi)/(8) cos (pi)/(8) sin (pi)/(8) sin (3 pi)/(8)
= -(1)/(8) [sin(pi/8) cos(pi/8)] [sin(pi/8) sin(3pi/8)]

Gunakan sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ) => sin(θ) cos(θ) = 1/2 sin(2θ)
= -(1)/(8) [1/2 sin(2*pi/8)] [sin(pi/8) sin(3pi/8)]
= -(1)/(8) [1/2 sin(pi/4)] [sin(pi/8) sin(3pi/8)]
= -(1)/(16) [sqrt(2)/2] [sin(pi/8) sin(3pi/8)]
= -(sqrt(2)/32) [sin(pi/8) sin(3pi/8)]

Sekarang gunakan sin(A)sin(B) = 1/2 [cos(A-B) - cos(A+B)]
sin(pi/8) sin(3pi/8) = 1/2 [cos(pi/8 - 3pi/8) - cos(pi/8 + 3pi/8)]
= 1/2 [cos(-2pi/8) - cos(4pi/8)]
= 1/2 [cos(-pi/4) - cos(pi/2)]
= 1/2 [sqrt(2)/2 - 0]
= sqrt(2)/4

Substitusi kembali:
= -(sqrt(2)/32) * (sqrt(2)/4)
= -(2 / 128)
= -1/64

Ada kemungkinan soal ini dimaksudkan untuk menggunakan identitas lain atau ada kekeliruan dalam penulisan soalnya. Jika kita asumsikan ada kesalahan pengetikan dan mencoba bentuk lain yang umum, misalnya jika ada cos(pi/8) sin(3pi/8) atau sebaliknya yang saling melengkapi.

Namun, berdasarkan soal yang tertulis, nilai dari -(1)/(8) cos (3 pi)/(8) cos (pi)/(8) sin (pi)/(8) sin (3 pi)/(8) adalah -1/64.