Tentukan nilai limit berikut ini limit x -> 0 (1-cos 2x)/x

1

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit berikut: limit x -> 0 (1-cos 2x)/x tan 2x.
Kita bisa menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat limit.
Identitas yang relevan: 1 - cos 2x = 2 sin^2 x.
Dan tan 2x = sin 2x / cos 2x.
Limit menjadi: limit x -> 0 (2 sin^2 x) / (x * (sin 2x / cos 2x))
Limit = limit x -> 0 (2 sin^2 x * cos 2x) / (x * sin 2x)

Kita tahu bahwa limit x -> 0 (sin ax / ax) = 1.
Limit = limit x -> 0 [2 * (sin x / x) * (sin x / x) * x * x * cos 2x] / (x * 2 * (sin 2x / 2x) * 2x)
Limit = limit x -> 0 [2 * (sin x / x)^2 * x^2 * cos 2x] / [2x^2 * (sin 2x / 2x)]

Sederhanakan:
Limit = limit x -> 0 [ (sin x / x)^2 * cos 2x ] / (sin 2x / 2x)

Saat x -> 0, (sin x / x) -> 1, cos 2x -> cos 0 = 1, dan (sin 2x / 2x) -> 1.
Jadi, nilai limitnya adalah: (1^2 * 1) / 1 = 1.