Tentukan nilai limit berikut. lim x->0 (cos 5x-cos

Nilai limitnya adalah -112.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit lim x->0 (cos 5x-cos 9x)/(1-akar(cox x)), kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah 0/0 saat x=0.

1. Turunkan pembilang: Turunan dari cos 5x adalah -5 sin 5x. Turunan dari cos 9x adalah -9 sin 9x. Jadi, turunan pembilang adalah -5 sin 5x - (-9 sin 9x) = -5 sin 5x + 9 sin 9x.
2. Turunkan penyebut: Turunan dari 1 adalah 0. Turunan dari akar(cos x) atau (cos x)^(1/2) adalah (1/2)(cos x)^(-1/2) * (-sin x) = -sin x / (2 * akar(cos x)).
3. Terapkan aturan L'Hopital: lim x->0 (-5 sin 5x + 9 sin 9x) / (-sin x / (2 * akar(cos x))).
4. Substitusikan x=0: (-5 sin 0 + 9 sin 0) / (-sin 0 / (2 * akar(cos 0))) = (0+0) / (0 / (2 * 1)) = 0/0. Karena masih berbentuk 0/0, kita gunakan aturan L'Hopital lagi.
5. Turunkan pembilang lagi: Turunan dari -5 sin 5x adalah -25 cos 5x. Turunan dari 9 sin 9x adalah 81 cos 9x. Jadi, turunan pembilang adalah -25 cos 5x + 81 cos 9x.
6. Turunkan penyebut lagi: Turunan dari -sin x / (2 * akar(cos x)). Gunakan aturan kuosien: u = -sin x, v = 2 * akar(cos x). u' = -cos x. v' = 2 * (1/2) * (cos x)^(-1/2) * (-sin x) = -sin x / akar(cos x). Jadi, turunan penyebut adalah (-cos x * 2 * akar(cos x) - (-sin x) * (-sin x / akar(cos x))) / (2 * akar(cos x))^2 = (-2 cos x * akar(cos x) - sin^2 x / akar(cos x)) / (4 cos x) = (-2 cos^2 x - sin^2 x) / (4 cos x * akar(cos x)) = (-cos^2 x - (cos^2 x + sin^2 x)) / (4 cos x * akar(cos x)) = (-cos^2 x - 1) / (4 cos x * akar(cos x)).
7. Substitusikan x=0 ke hasil turunan kedua: (-25 cos 0 + 81 cos 0) / ((-cos^2 0 - 1) / (4 cos 0 * akar(cos 0))) = (-25 + 81) / ((-1 - 1) / (4 * 1 * 1)) = 56 / (-2 / 4) = 56 / (-1/2) = -112.

Jadi, nilai limitnya adalah -112.