Tentukan nilai limit berikut.lim x -> tak hingga(akar(9

Nilai limitnya adalah 5/3.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2 - 2x + 5} - 3x + 2)$, kita akan menggunakan teknik mengalikan dengan bentuk sekawan dan memanipulasi ekspresi.

Ekspresi yang diberikan adalah:
$L = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2 - 2x + 5} - (3x - 2))$

Kalikan dengan bentuk sekawan dari $\sqrt{9x^2 - 2x + 5} - (3x - 2)$, yaitu $\sqrt{9x^2 - 2x + 5} + (3x - 2)$:

$L = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{9x^2 - 2x + 5} - (3x - 2))(\sqrt{9x^2 - 2x + 5} + (3x - 2))}{\sqrt{9x^2 - 2x + 5} + (3x - 2)}$

$L = \lim_{x \to \infty} \frac{(9x^2 - 2x + 5) - (3x - 2)^2}{\sqrt{9x^2 - 2x + 5} + (3x - 2)}$

$L = \lim_{x \to \infty} \frac{9x^2 - 2x + 5 - (9x^2 - 12x + 4)}{\sqrt{9x^2 - 2x + 5} + 3x - 2}$

$L = \lim_{x \to \infty} \frac{9x^2 - 2x + 5 - 9x^2 + 12x - 4}{\sqrt{9x^2 - 2x + 5} + 3x - 2}$

$L = \lim_{x \to \infty} \frac{10x + 1}{\sqrt{9x^2 - 2x + 5} + 3x - 2}$

Untuk $x \to \infty$, kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan $x$. Ingat bahwa $\sqrt{x^2} = |x|$, dan karena $x \to \infty$, maka $|x| = x$.

$L = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{9x^2 - 2x + 5}}{x} + \frac{3x}{x} - \frac{2}{x}}$

$L = \lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{9x^2 - 2x + 5}{x^2}} + 3 - \frac{2}{x}}$

$L = \lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x}}{\sqrt{9 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^2}} + 3 - \frac{2}{x}}$

Sekarang, substitusikan $x \to \infty$. Suku-suku dengan $x$ di penyebut akan menjadi 0:

$L = \frac{10 + 0}{\sqrt{9 - 0 + 0} + 3 - 0}$

$L = \frac{10}{\sqrt{9} + 3}$

$L = \frac{10}{3 + 3}$

$L = \frac{10}{6}$

$L = \frac{5}{3}$

Jadi, nilai limit tersebut adalah $\frac{5}{3}$.