Tentukan nilai limit berikut. limit x->pi/3

-5/4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.
Limit x->pi/3 (sin(3x+pi/3)+sin(x-4pi/3))/(2x+2pi/3)
1. Turunkan pembilang terhadap x:
d/dx [sin(3x+pi/3)+sin(x-4pi/3)] = cos(3x+pi/3) * 3 + cos(x-4pi/3) * 1 = 3 cos(3x+pi/3) + cos(x-4pi/3)
2. Turunkan penyebut terhadap x:
d/dx [2x+2pi/3] = 2
3. Terapkan aturan L'Hopital dengan membagi turunan pembilang dengan turunan penyebut:
Limit x->pi/3 [3 cos(3x+pi/3) + cos(x-4pi/3)] / 2
4. Substitusikan x = pi/3 ke dalam ekspresi yang telah diturunkan:
[3 cos(3(pi/3)+pi/3) + cos(pi/3-4pi/3)] / 2
= [3 cos(pi+pi/3) + cos(-pi)] / 2
= [3 cos(4pi/3) + cos(-pi)] / 2
= [3 (-1/2) + (-1)] / 2
= [-3/2 - 1] / 2
= [-5/2] / 2
= -5/4
Jadi, nilai limitnya adalah -5/4.