Tentukan nilai limit dari: limit u mendekati tak hingga

Nilai limitnya adalah -2.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit dari ekspresi yang diberikan saat u mendekati tak hingga, kita dapat menggunakan substitusi x = 1/u. Ketika u mendekati tak hingga, x akan mendekati 0.

Ekspresi tersebut menjadi:
limit x mendekati 0 dari (cos(4x) + cos(2x)sin(3√x) - cos(4x)sin(3√x) - cos(2x)) / (sin²(x) - cos(2x) + 1)

Kita dapat menggunakan ekspansi Taylor atau aturan L'Hôpital jika diperlukan, namun mari kita coba substitusi nilai x=0 terlebih dahulu:

Pembilang: cos(0) + cos(0)sin(0) - cos(0)sin(0) - cos(0) = 1 + 1*0 - 1*0 - 1 = 1 - 1 = 0

Penyebut: sin²(0) - cos(0) + 1 = 0² - 1 + 1 = 0 - 1 + 1 = 0

Karena kita mendapatkan bentuk 0/0, kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital atau ekspansi Taylor. Menggunakan ekspansi Taylor untuk x mendekati 0:
cos(x) ≈ 1 - x²/2
sin(x) ≈ x

Jadi, ekspresi tersebut menjadi:
limit x mendekati 0 dari ( (1 - (4x)²/2) + (1 - (2x)²/2)(3x) - (1 - (4x)²/2)(3x) - (1 - (2x)²/2) ) / (x² - (1 - (2x)²/2) + 1)

limit x mendekati 0 dari ( 1 - 8x² + (1 - 2x²)(3x) - (1 - 8x²)(3x) - 1 + 2x² ) / (x² - 1 + 2x² + 1)

limit x mendekati 0 dari ( 1 - 8x² + 3x - 6x³ - (3x - 24x³) - 1 + 2x² ) / (3x²)

limit x mendekati 0 dari ( 1 - 8x² + 3x - 6x³ - 3x + 24x³ - 1 + 2x² ) / (3x²)

limit x mendekati 0 dari ( (-8+2)x² + (3-3)x + (-6+24)x³ ) / (3x²)

limit x mendekati 0 dari ( -6x² + 18x³ ) / (3x²)

limit x mendekati 0 dari ( -6 + 18x ) / 3

Substitusikan x = 0:
(-6 + 18*0) / 3 = -6 / 3 = -2

Jadi, nilai limitnya adalah -2.