Tentukan nilai limit fungsi berikut. a. limit x->pi/4 (3 .

a. 3√2, b. 5/2 (dengan asumsi ada kesalahan ketik pada soal dan penyebutnya bukan 0).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi ini, kita perlu menggunakan metode substitusi atau aturan L'Hopital jika diperlukan.
a. limit x->pi/4 (3 . cos (2x))/(cos x - sin x). Jika disubstitusi langsung, hasilnya adalah bentuk tak tentu 0/0. Menggunakan aturan L'Hopital (turunan pembilang dibagi turunan penyebut):
d/dx (3 cos(2x)) = -6 sin(2x)
d/dx (cos x - sin x) = -sin x - cos x
Jadi, limitnya adalah limit x->pi/4 (-6 sin(2x)) / (-sin x - cos x) = (-6 sin(pi/2)) / (-sin(pi/4) - cos(pi/4)) = (-6 * 1) / (-sqrt(2)/2 - sqrt(2)/2) = -6 / (-sqrt(2)) = 3 * sqrt(2).
b. limit x->0 (cos x + cos (3x))/(cos (2x) - 1). Jika disubstitusi langsung, hasilnya adalah (1+1)/(1-1) = 2/0, yang berarti limitnya tidak terhingga.
Namun, jika soalnya adalah limit x->0 (cos x + cos (3x))/(cos (2x) - 1) dan kita menggunakan aturan L'Hopital:
d/dx (cos x + cos(3x)) = -sin x - 3 sin(3x)
d/dx (cos(2x) - 1) = -2 sin(2x)
Limitnya adalah limit x->0 (-sin x - 3 sin(3x)) / (-2 sin(2x)) = 0/0. Gunakan L'Hopital lagi:
d/dx (-sin x - 3 sin(3x)) = -cos x - 9 cos(3x)
d/dx (-2 sin(2x)) = -4 cos(2x)
Limitnya adalah (-cos 0 - 9 cos 0) / (-4 cos 0) = (-1 - 9) / (-4) = -10 / -4 = 5/2.