Tentukan integral-integral berikut! integral (x

2√x - 1/x + C

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral ini, kita perlu menyederhanakan ekspresi di dalam integral terlebih dahulu.

Integral yang diberikan adalah: ∫ (x√(x)(x² + √x)) / x⁴ dx

Kita bisa menulis √x sebagai x^(1/2).
Ekspresi menjadi: ∫ (x * x^(1/2) * (x² + x^(1/2))) / x⁴ dx

Sederhanakan bagian pembilang:
x * x^(1/2) = x^(1 + 1/2) = x^(3/2)

Jadi, pembilangnya adalah: x^(3/2) * (x² + x^(1/2))
Kalikan x^(3/2) ke dalam kurung:
x^(3/2) * x² + x^(3/2) * x^(1/2)
= x^(3/2 + 2) + x^(3/2 + 1/2)
= x^(3/2 + 4/2) + x^(4/2)
= x^(7/2) + x²

Sekarang, seluruh ekspresi integral menjadi:
∫ (x^(7/2) + x²) / x⁴ dx

Pisahkan menjadi dua pecahan:
∫ (x^(7/2) / x⁴) dx + ∫ (x² / x⁴) dx

Sederhanakan setiap pecahan:
∫ x^(7/2 - 4) dx + ∫ x^(2 - 4) dx
∫ x^(7/2 - 8/2) dx + ∫ x^(-2) dx
∫ x^(-1/2) dx + ∫ x^(-2) dx

Sekarang, kita integralkan masing-masing bagian:
Integral dari x^n dx adalah (x^(n+1))/(n+1) + C

Untuk ∫ x^(-1/2) dx:
n = -1/2
n+1 = -1/2 + 1 = 1/2
Hasilnya adalah (x^(1/2)) / (1/2) = 2x^(1/2) = 2√x

Untuk ∫ x^(-2) dx:
n = -2
n+1 = -2 + 1 = -1
Hasilnya adalah (x^(-1)) / (-1) = -x^(-1) = -1/x

Jadi, hasil integralnya adalah:
2√x - 1/x + C