Tentukan nilai m agar bentuk-bentuk kuadrat berikut ini

a. m=5, b. m=1

Pembahasan

Agar bentuk kuadrat x^2 + (m+1)x + 5 dapat difaktorkan menjadi dua faktor linear dalam x, diskriminannya harus nol jika kita menganggapnya sebagai persamaan kuadrat dalam x dengan konstanta. Namun, jika kita mencari faktor linear, ini berarti kita mencari akar-akarnya. Diskriminan D = b^2 - 4ac. Di sini a=1, b=m+1, c=5. D = (m+1)^2 - 4(1)(5) = (m+1)^2 - 20. Agar dapat difaktorkan, kita perlu D menjadi kuadrat sempurna atau kita perlu mencari nilai m sehingga akar-akarnya rasional. Namun, pertanyaan ini lebih mengarah pada apakah ada nilai m sehingga ekspresi tersebut bisa difaktorkan. Tanpa syarat tambahan, ada tak terhingga nilai m yang membuat ini dapat difaktorkan jika kita mengizinkan faktor-faktor dengan koefisien irasional atau kompleks. Jika kita mengasumsikan faktor-faktornya harus rasional, maka D harus merupakan kuadrat sempurna dari suatu bilangan rasional. 

Untuk bagian b, x^2 + mxy - 2y^2 - 2x + 2y, agar dapat difaktorkan menjadi dua faktor linear dalam x dan y, kita dapat menganggap ini sebagai persamaan kuadrat dalam x: x^2 + (my - 2)x + (-2y^2 + 2y). Agar ini dapat difaktorkan, diskriminannya harus merupakan kuadrat sempurna dari suatu ekspresi dalam y. 
Diskriminan D = (my - 2)^2 - 4(1)(-2y^2 + 2y) 
D = (m^2y^2 - 4my + 4) + 8y^2 - 8y 
D = (m^2 + 8)y^2 - (4m + 8)y + 4. 
Agar D menjadi kuadrat sempurna dari suatu ekspresi linear dalam y, katakanlah (Ay + B)^2, maka diskriminan dari D itu sendiri harus nol. Diskriminan dari D adalah koefisien y^2 dikali konstanta dikurangi kuadrat dari setengah koefisien y. Atau, kita bisa langsung menyetel diskriminan D agar menjadi kuadrat sempurna. 

Jika kita menganggap soal ini dari konteks tertentu (misalnya, buku teks tertentu), maka 'dapat difaktorkan' seringkali menyiratkan faktor-faktor dengan koefisien bilangan bulat atau rasional. 

Untuk kasus a: x^2+(m+1)x+5. Agar dapat difaktorkan, (m+1)^2 - 20 harus merupakan kuadrat sempurna. Misalnya, jika (m+1)^2 - 20 = k^2, maka (m+1)^2 - k^2 = 20, atau (m+1-k)(m+1+k) = 20. Kita bisa mencari pasangan faktor dari 20. Jika m+1-k = 2 dan m+1+k = 10, maka 2(m+1) = 12 => m+1 = 6 => m = 5. Jika m=5, maka (5+1)^2 - 20 = 36 - 20 = 16 = 4^2. Jadi, m=5 memungkinkan faktor rasional (x+2)(x+3) jika konstanta adalah 6, bukan 5. Dalam kasus x^2+(m+1)x+5, jika m=5, maka x^2+6x+5 = (x+1)(x+5). Jadi m=5 adalah salah satu nilai yang memungkinkan.

Untuk kasus b: x^2+mxy-2y^2-2x+2y. Faktorisasinya bisa berbentuk (x+Ay+B)(x+Cy+D). 
Koefisien xy: A+C = m.
Koefisien y^2: AC = -2.
Koefisien x: A+C = -2 (ini tidak konsisten dengan A+C = m, jadi ada kesalahan dalam asumsi bentuk faktor).

Mari kita coba faktorisasi dengan bentuk (x + py + q)(x + ry + s).
(x + py + q)(x + ry + s) = x^2 + rxy + sx + pxy + pry^2 + psy + qx + qry + qs
= x^2 + (p+r)xy + pry^2 + (s+q)x + (ps+qr)y + qs

Membandingkan dengan x^2 + mxy - 2y^2 - 2x + 2y:
1. p+r = m
2. pr = -2
3. s+q = -2
4. ps+qr = 2
5. qs = 0

Dari (5), kita tahu q=0 atau s=0.
Kasus 1: q=0.
Dari (3), s = -2.
Dari (4), p(-2) + 0*r = 2 => -2p = 2 => p = -1.
Dari (2), (-1)r = -2 => r = 2.
Dari (1), m = p+r = -1 + 2 = 1.
Jadi, jika m=1, bentuknya dapat difaktorkan menjadi (x - y - 0)(x + 2y - 2) = (x-y)(x+2y-2) = x^2 + 2xy - 2x - xy - 2y^2 + 2y = x^2 + xy - 2y^2 - 2x + 2y. Ini cocok.
Jadi, untuk b, m=1.