Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi objektif

Nilai maksimum adalah 14 (pada titik (2,4)) dan nilai minimum adalah 4 (pada titik (0, 4/3) dan (4,0)).

Pembahasan

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi objektif f(x, y) = x + 3y dengan kendala:
x + 3y ≥ 4
y - x ≤ 2
x + 2y ≤ 10
x ≥ 0; y ≥ 0, x, y ∈ R, kita perlu mencari titik-titik sudut (titik potong garis kendala) dari daerah penyelesaian yang dibentuk oleh kendala-kendala tersebut.

1. Ubah ketidaksamaan menjadi persamaan untuk mencari garis:
x + 3y = 4
y - x = 2  => y = x + 2
x + 2y = 10
x = 0
y = 0

2. Cari titik potong:
   a. Titik potong x + 3y = 4 dan y = x + 2:
      x + 3(x + 2) = 4
      x + 3x + 6 = 4
      4x = -2
      x = -1/2
      y = -1/2 + 2 = 3/2. Titik (-1/2, 3/2). Namun, karena kendala x ≥ 0, titik ini tidak termasuk dalam daerah penyelesaian yang valid.

   b. Titik potong y = x + 2 dan x + 2y = 10:
      x + 2(x + 2) = 10
      x + 2x + 4 = 10
      3x = 6
      x = 2
      y = 2 + 2 = 4. Titik (2, 4).

   c. Titik potong x + 3y = 4 dan x = 0:
      0 + 3y = 4
      y = 4/3. Titik (0, 4/3).

   d. Titik potong x + 3y = 4 dan y = 0:
      x + 0 = 4
      x = 4. Titik (4, 0). Namun, kendala x + 2y ≤ 10 harus dicek. 4 + 2(0) = 4 ≤ 10. Kendala y - x ≤ 2 harus dicek. 0 - 4 = -4 ≤ 2. Kendala x ≥ 0, y ≥ 0 terpenuhi. Jadi (4,0) adalah titik sudut.

   e. Titik potong x + 2y = 10 dan y = 0:
      x + 0 = 10
      x = 10. Titik (10, 0). Kendala x + 3y ≥ 4 dicek: 10 + 3(0) = 10 ≥ 4. Kendala y - x ≤ 2 dicek: 0 - 10 = -10 ≤ 2. Kendala x ≥ 0, y ≥ 0 terpenuhi. Jadi (10,0) adalah titik sudut.

   f. Titik potong x + 2y = 10 dan x = 0:
      0 + 2y = 10
      y = 5. Titik (0, 5). Kendala x + 3y ≥ 4 dicek: 0 + 3(5) = 15 ≥ 4. Kendala y - x ≤ 2 dicek: 5 - 0 = 5 ≤ 2. Ini TIDAK TERPENUHI. Jadi titik (0,5) bukan titik sudut yang valid.

   g. Titik potong y = x + 2 dan y = 0:
      0 = x + 2
      x = -2. Titik (-2, 0). Tidak memenuhi x ≥ 0.

Mari kita tinjau ulang titik potong yang memenuhi semua kendala:

Titik Sudut yang Valid:
1. Titik potong x + 3y = 4 dan y = x + 2: Ternyata ada kesalahan perhitungan sebelumnya, mari kita perbaiki.
   x + 3(x+2) = 4
   x + 3x + 6 = 4
   4x = -2
   x = -1/2.  Ini tidak memenuhi x>=0.

Mari kita cari titik potong antara garis-garis yang membentuk batas daerah yang memenuhi semua ketidaksamaan:
Kendala: x + 3y ≥ 4, y - x ≤ 2, x + 2y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0

Garis 1: x + 3y = 4
Garis 2: y = x + 2
Garis 3: x + 2y = 10
Garis 4: x = 0
Garis 5: y = 0

Titik-titik yang perlu diperiksa adalah perpotongan garis-garis ini yang berada dalam daerah yang memenuhi semua kendala:

a) Perpotongan G1 (x + 3y = 4) dan G4 (x = 0):
   0 + 3y = 4  => y = 4/3. Titik (0, 4/3).
   Cek kendala lain: y - x ≤ 2 => 4/3 - 0 = 4/3 ≤ 2 (Benar).
                     x + 2y ≤ 10 => 0 + 2(4/3) = 8/3 ≤ 10 (Benar).
                     x ≥ 0, y ≥ 0 (Benar).
   Jadi, (0, 4/3) adalah titik sudut.

b) Perpotongan G2 (y = x + 2) dan G3 (x + 2y = 10):
   x + 2(x + 2) = 10
   x + 2x + 4 = 10
   3x = 6 => x = 2.
   y = 2 + 2 = 4. Titik (2, 4).
   Cek kendala lain: x + 3y ≥ 4 => 2 + 3(4) = 14 ≥ 4 (Benar).
                     x ≥ 0, y ≥ 0 (Benar).
   Jadi, (2, 4) adalah titik sudut.

c) Perpotongan G3 (x + 2y = 10) dan G5 (y = 0):
   x + 2(0) = 10 => x = 10. Titik (10, 0).
   Cek kendala lain: x + 3y ≥ 4 => 10 + 3(0) = 10 ≥ 4 (Benar).
                     y - x ≤ 2 => 0 - 10 = -10 ≤ 2 (Benar).
                     x ≥ 0, y ≥ 0 (Benar).
   Jadi, (10, 0) adalah titik sudut.

d) Perpotongan G1 (x + 3y = 4) dan G5 (y = 0):
   x + 3(0) = 4 => x = 4. Titik (4, 0).
   Cek kendala lain: y - x ≤ 2 => 0 - 4 = -4 ≤ 2 (Benar).
                     x + 2y ≤ 10 => 4 + 2(0) = 4 ≤ 10 (Benar).
                     x ≥ 0, y ≥ 0 (Benar).
   Jadi, (4, 0) adalah titik sudut.

Sekarang, evaluasi fungsi objektif f(x, y) = x + 3y pada titik-titik sudut yang valid:

* Titik (0, 4/3): f(0, 4/3) = 0 + 3(4/3) = 4.
* Titik (2, 4): f(2, 4) = 2 + 3(4) = 2 + 12 = 14.
* Titik (10, 0): f(10, 0) = 10 + 3(0) = 10.
* Titik (4, 0): f(4, 0) = 4 + 3(0) = 4.

Berdasarkan evaluasi tersebut:
Nilai maksimum fungsi objektif adalah 14, terjadi pada titik (2, 4).
Nilai minimum fungsi objektif adalah 4, terjadi pada titik (0, 4/3) dan (4, 0).