Tentukan nilai maksimum dari bentuk (x+3y) pada himpunan

Nilai maksimum adalah 24.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan metode program linear untuk mencari nilai maksimum dari fungsi tujuan (x+3y) pada daerah yang dibatasi oleh pertidaksamaan yang diberikan. Langkah-langkahnya adalah:
1. Menggambar daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan.
2. Menentukan titik-titik sudut (titik-titik pojok) dari daerah penyelesaian.
3. Menghitung nilai fungsi tujuan di setiap titik sudut.
4. Nilai terbesar yang diperoleh adalah nilai maksimum.

Pertidaksamaan:
x >= 0
y >= 0
x + 2y >= 7
2x + y <= 8

Fungsi Tujuan: f(x, y) = x + 3y

Langkah 1: Menggambar Daerah Penyelesaian
Kita perlu menggambar garis-garis yang sesuai dengan pertidaksamaan:
- x = 0 (sumbu y)
- y = 0 (sumbu x)
- x + 2y = 7 (memotong sumbu x di (7,0) dan sumbu y di (0, 3.5))
- 2x + y = 8 (memotong sumbu x di (4,0) dan sumbu y di (0,8))

Daerah penyelesaian adalah daerah yang memenuhi semua kondisi, yaitu di kuadran pertama, di atas garis x+2y=7, dan di bawah garis 2x+y=8.

Langkah 2: Menentukan Titik-titik Sudut
Titik-titik sudut adalah perpotongan dari garis-garis batas:
- Titik A: Perpotongan sumbu y (x=0) dan garis 2x+y=8. Jika x=0, maka y=8. Jadi, A = (0, 8).
- Titik B: Perpotongan garis x+2y=7 dan 2x+y=8.
  Dari 2x+y=8, kita dapatkan y = 8-2x.
  Substitusikan ke persamaan pertama: x + 2(8-2x) = 7
  x + 16 - 4x = 7
  -3x = 7 - 16
  -3x = -9
  x = 3
  Sekarang cari y: y = 8 - 2(3) = 8 - 6 = 2. Jadi, B = (3, 2).
- Titik C: Perpotongan sumbu x (y=0) dan garis x+2y=7. Jika y=0, maka x=7. Jadi, C = (7, 0).

Namun, kita harus memeriksa apakah titik-titik ini benar-benar berada dalam daerah penyelesaian. Perhatikan bahwa garis x+2y=7 memotong sumbu x di x=7, tetapi garis 2x+y=8 memotong sumbu x di x=4. Ini berarti titik (7,0) tidak memenuhi 2x+y<=8 (karena 2*7+0=14 > 8). Jadi titik C bukan sudut yang relevan dari daerah yang dibatasi oleh keempat pertidaksamaan.

Mari kita tentukan ulang titik sudut yang relevan:
1. Perpotongan x=0 dan y=0: (0,0). Tapi ini tidak memenuhi x+2y>=7.
2. Perpotongan x=0 dan x+2y=7: (0, 3.5). Periksa 2x+y<=8: 2*0 + 3.5 = 3.5 <= 8. Jadi (0, 3.5) adalah titik sudut.
3. Perpotongan y=0 dan 2x+y=8: (4,0). Periksa x+2y>=7: 4 + 2*0 = 4 < 7. Jadi (4,0) tidak memenuhi x+2y>=7.
4. Perpotongan y=0 dan x+2y=7: (7,0). Periksa 2x+y<=8: 2*7 + 0 = 14 > 8. Jadi (7,0) tidak memenuhi 2x+y<=8.
5. Perpotongan x=0 dan 2x+y=8: (0,8). Periksa x+2y>=7: 0 + 2*8 = 16 >= 7. Jadi (0,8) adalah titik sudut.
6. Perpotongan x+2y=7 dan 2x+y=8: (3,2). Periksa x>=0 (3>=0) dan y>=0 (2>=0). Jadi (3,2) adalah titik sudut.

Titik-titik sudut yang valid adalah (0, 3.5), (0, 8), dan (3, 2).

Langkah 3: Menghitung Nilai Fungsi Tujuan
- Di titik (0, 3.5): f(0, 3.5) = 0 + 3*(3.5) = 10.5
- Di titik (0, 8): f(0, 8) = 0 + 3*(8) = 24
- Di titik (3, 2): f(3, 2) = 3 + 3*(2) = 3 + 6 = 9

Langkah 4: Menentukan Nilai Maksimum
Nilai maksimum dari fungsi tujuan x+3y adalah 24, yang dicapai pada titik (0, 8).

Jadi, nilai maksimum dari bentuk (x+3y) pada himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah 24.