Tentukan nilai minimum dan nilai maksimum dari fungsi

Nilai minimum: 3 di (1, 2), Nilai maksimum: 12 di (4, 8)

Pembahasan

Untuk menentukan nilai minimum dan maksimum dari fungsi tujuan f(x, y) = x + y untuk sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPLDV) yang diberikan, kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan tersebut.

SPLDV:
x - y ≥ -4  => y ≤ x + 4
2x + 7y ≥ 16
2x + y ≥ 4   => y ≥ 4 - 2x
2x + y ≤ 16  => y ≤ 16 - 2x
x, y ∈ C (bilangan bulat)

Langkah-langkahnya adalah:
1. Menggambar garis-garis dari pertidaksamaan.
2. Menentukan daerah penyelesaian yang memenuhi semua pertidaksamaan.
3. Mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian tersebut.
4. Mensubstitusikan koordinat titik-titik pojok ke dalam fungsi tujuan f(x, y) = x + y untuk mencari nilai minimum dan maksimumnya.

Mari kita cari titik potong antar garis:

Titik potong antara y = x + 4 dan 2x + 7y = 16:
2x + 7(x + 4) = 16
2x + 7x + 28 = 16
9x = 16 - 28
9x = -12
x = -12/9 = -4/3
y = -4/3 + 4 = -4/3 + 12/3 = 8/3
Titik potong: (-4/3, 8/3)

Titik potong antara y = x + 4 dan 2x + y = 4:
2x + (x + 4) = 4
3x + 4 = 4
3x = 0
x = 0
y = 0 + 4 = 4
Titik potong: (0, 4)

Titik potong antara y = x + 4 dan 2x + y = 16:
2x + (x + 4) = 16
3x + 4 = 16
3x = 12
x = 4
y = 4 + 4 = 8
Titik potong: (4, 8)

Titik potong antara 2x + 7y = 16 dan 2x + y = 4:
(2x + 7y) - (2x + y) = 16 - 4
6y = 12
y = 2
2x + 2 = 4
2x = 2
x = 1
Titik potong: (1, 2)

Titik potong antara 2x + 7y = 16 dan 2x + y = 16:
(2x + 7y) - (2x + y) = 16 - 16
6y = 0
y = 0
2x + 0 = 16
2x = 16
x = 8
Titik potong: (8, 0)

Titik potong antara 2x + y = 4 dan 2x + y = 16: Tidak ada karena garis sejajar.

Sekarang kita perlu mempertimbangkan pertidaksamaan y ≤ x + 4, y ≥ 4 - 2x, y ≤ 16 - 2x, dan 2x + 7y ≥ 16.

Daerah penyelesaiannya dibatasi oleh titik-titik pojok yang memenuhi semua kondisi. Kita perlu mencari titik-titik pojok yang merupakan pasangan bilangan bulat.

Mari kita evaluasi titik-titik potong yang kita temukan, dan cari titik-titik bulat di sekitar mereka:

Titik pojok yang valid (memenuhi semua pertidaksamaan dan merupakan bilangan bulat):

1. Titik potong (0, 4). Cek pertidaksamaan lain:
   0 - 4 ≥ -4 (Benar)
   2(0) + 7(4) ≥ 16 => 28 ≥ 16 (Benar)
   2(0) + 4 ≤ 16 => 4 ≤ 16 (Benar)
   Jadi, (0, 4) adalah titik pojok yang valid.
   f(0, 4) = 0 + 4 = 4

2. Titik potong (1, 2). Cek pertidaksamaan lain:
   1 - 2 ≥ -4 => -1 ≥ -4 (Benar)
   2(1) + 7(2) ≥ 16 => 2 + 14 ≥ 16 => 16 ≥ 16 (Benar)
   2(1) + 2 ≤ 16 => 4 ≤ 16 (Benar)
   Jadi, (1, 2) adalah titik pojok yang valid.
   f(1, 2) = 1 + 2 = 3

3. Titik potong (8, 0). Cek pertidaksamaan lain:
   8 - 0 ≥ -4 => 8 ≥ -4 (Benar)
   2(8) + 7(0) ≥ 16 => 16 ≥ 16 (Benar)
   2(8) + 0 ≤ 16 => 16 ≤ 16 (Benar)
   Jadi, (8, 0) adalah titik pojok yang valid.
   f(8, 0) = 8 + 0 = 8

4. Perlu dipertimbangkan titik potong antara 2x+7y=16 dan 2x+y=4, yaitu (1,2). Kita sudah cek.

5. Perlu dipertimbangkan titik potong antara 2x+y=4 dan y=x+4, yaitu (0,4). Kita sudah cek.

6. Perlu dipertimbangkan titik potong antara 2x+y=16 dan y=x+4, yaitu (4,8). Cek pertidaksamaan lain:
   4 - 8 ≥ -4 => -4 ≥ -4 (Benar)
   2(4) + 7(8) ≥ 16 => 8 + 56 ≥ 16 => 64 ≥ 16 (Benar)
   2(4) + 8 ≤ 16 => 8 + 8 ≤ 16 => 16 ≤ 16 (Benar)
   Jadi, (4, 8) adalah titik pojok yang valid.
   f(4, 8) = 4 + 8 = 12

Perhatikan juga titik (2, 4) yang merupakan bilangan bulat dan berada dalam daerah yang dibatasi oleh garis-garis:
2(2) + 4 = 8, lebih besar dari 4 (memenuhi 2x+y>=4)
4 - 4 = 0, lebih besar dari -4 (memenuhi x-y>=-4)
2(2) + 4 = 8, lebih kecil dari 16 (memenuhi 2x+y<=16)
2(2) + 7(4) = 4 + 28 = 32, lebih besar dari 16 (memenuhi 2x+7y>=16)
Jadi (2,4) adalah titik yang valid.
f(2,4) = 2+4 = 6

Perhatikan titik (3,5) yang merupakan bilangan bulat dan berada dalam daerah yang dibatasi oleh garis-garis:
2(3) + 5 = 11, lebih besar dari 4 (memenuhi 2x+y>=4)
3 - 5 = -2, lebih besar dari -4 (memenuhi x-y>=-4)
2(3) + 5 = 11, lebih kecil dari 16 (memenuhi 2x+y<=16)
2(3) + 7(5) = 6 + 35 = 41, lebih besar dari 16 (memenuhi 2x+7y>=16)
Jadi (3,5) adalah titik yang valid.
f(3,5) = 3+5 = 8

Perhatikan titik (5,2) yang merupakan bilangan bulat dan berada dalam daerah yang dibatasi oleh garis-garis:
2(5) + 2 = 12, lebih besar dari 4 (memenuhi 2x+y>=4)
5 - 2 = 3, lebih besar dari -4 (memenuhi x-y>=-4)
2(5) + 2 = 12, lebih kecil dari 16 (memenuhi 2x+y<=16)
2(5) + 7(2) = 10 + 14 = 24, lebih besar dari 16 (memenuhi 2x+7y>=16)
Jadi (5,2) adalah titik yang valid.
f(5,2) = 5+2 = 7

Perhatikan titik (6,1) yang merupakan bilangan bulat dan berada dalam daerah yang dibatasi oleh garis-garis:
2(6) + 1 = 13, lebih besar dari 4 (memenuhi 2x+y>=4)
6 - 1 = 5, lebih besar dari -4 (memenuhi x-y>=-4)
2(6) + 1 = 13, lebih kecil dari 16 (memenuhi 2x+y<=16)
2(6) + 7(1) = 12 + 7 = 19, lebih besar dari 16 (memenuhi 2x+7y>=16)
Jadi (6,1) adalah titik yang valid.
f(6,1) = 6+1 = 7

Titik pojok yang menghasilkan nilai:
f(0, 4) = 4
f(1, 2) = 3
f(8, 0) = 8
f(4, 8) = 12

Nilai minimum adalah 3 pada titik (1, 2).
Nilai maksimum adalah 12 pada titik (4, 8).

Karena soal meminta nilai minimum dan maksimum dari fungsi tujuan f(x, y) = x + y dengan syarat x, y adalah bilangan bulat (x, y ∈ C), kita perlu memeriksa titik-titik pojok yang merupakan pasangan bilangan bulat dan juga titik-titik bulat lain di dalam daerah penyelesaian jika diperlukan. Namun, dalam program linear, nilai optimal (minimum atau maksimum) biasanya terjadi pada titik-titik pojok.

Berdasarkan titik-titik pojok yang valid (bilangan bulat) yang kita temukan:
(0, 4) -> f(0, 4) = 4
(1, 2) -> f(1, 2) = 3
(8, 0) -> f(8, 0) = 8
(4, 8) -> f(4, 8) = 12

Nilai minimum dari f(x, y) adalah 3, yang terjadi di titik (1, 2).
Nilai maksimum dari f(x, y) adalah 12, yang terjadi di titik (4, 8).