Tentukan nilai minimum f(x,y)=4x+2y jika (x,y) memenuhi

512/23

Pembahasan

Untuk menentukan nilai minimum f(x,y) = 4x + 2y, kita perlu mencari titik-titik sudut (titik pojok) dari daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear:
1. 4x + y >= 20
2. 2x + y >= 14
3. x + 6y >= 18
4. x >= 0
5. y >= 0
Kita cari titik potong antar garis:
Dari (1) dan (2):
(4x + y) - (2x + y) = 20 - 14
2x = 6
x = 3
Substitusikan x=3 ke (2):
2(3) + y = 14
6 + y = 14
y = 8
Titik potong (3, 8).
Dari (2) dan (3):
Kalikan (2) dengan 6: 12x + 6y = 84
(12x + 6y) - (x + 6y) = 84 - 18
11x = 66
x = 6
Substitusikan x=6 ke (2):
2(6) + y = 14
12 + y = 14
y = 2
Titik potong (6, 2).
Dari (1) dan (3):
Kalikan (1) dengan 6: 24x + 6y = 120
(24x + 6y) - (x + 6y) = 120 - 18
23x = 102
x = 102/23
Substitusikan x=102/23 ke (1):
4(102/23) + y = 20
408/23 + y = 460/23
y = 52/23
Titik potong (102/23, 52/23).
Titik sudut yang memenuhi adalah (3, 8), (6, 2), dan (102/23, 52/23).
Sekarang kita substitusikan titik-titik sudut ke fungsi tujuan f(x,y) = 4x + 2y:
Untuk (3, 8): f(3, 8) = 4(3) + 2(8) = 12 + 16 = 28
Untuk (6, 2): f(6, 2) = 4(6) + 2(2) = 24 + 4 = 28
Untuk (102/23, 52/23): f(102/23, 52/23) = 4(102/23) + 2(52/23) = (408 + 104)/23 = 512/23 ≈ 22.26
Nilai minimum dari f(x,y) adalah 512/23.