Tentukan nilai minimum mutlak dari y=2sin x+cos 2x dalam

Nilai minimum mutlak adalah -3.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai minimum mutlak dari fungsi y = 2sin x + cos 2x dalam selang 0 <= x <= 2pi, kita perlu mencari turunan pertama fungsi tersebut dan menentukan titik kritisnya.

Turunan pertama dari y terhadap x adalah:
y' = d/dx (2sin x + cos 2x)
y' = 2cos x - 2sin 2x

Untuk mencari titik kritis, kita atur y' = 0:
2cos x - 2sin 2x = 0
cos x - sin 2x = 0
Kita gunakan identitas sin 2x = 2sin x cos x:
cos x - 2sin x cos x = 0
cos x (1 - 2sin x) = 0

Dari sini, kita punya dua kemungkinan:
1. cos x = 0
   Dalam selang 0 <= x <= 2pi, cos x = 0 saat x = pi/2 dan x = 3pi/2.

2. 1 - 2sin x = 0
   2sin x = 1
   sin x = 1/2
   Dalam selang 0 <= x <= 2pi, sin x = 1/2 saat x = pi/6 dan x = 5pi/6.

Sekarang kita evaluasi nilai y pada titik-titik kritis ini dan pada batas selang (x = 0 dan x = 2pi):

Untuk x = 0: y = 2sin(0) + cos(2*0) = 2(0) + cos(0) = 0 + 1 = 1
Untuk x = pi/6: y = 2sin(pi/6) + cos(2*pi/6) = 2(1/2) + cos(pi/3) = 1 + 1/2 = 3/2
Untuk x = pi/2: y = 2sin(pi/2) + cos(2*pi/2) = 2(1) + cos(pi) = 2 + (-1) = 1
Untuk x = 5pi/6: y = 2sin(5pi/6) + cos(2*5pi/6) = 2(1/2) + cos(5pi/3) = 1 + 1/2 = 3/2
Untuk x = 3pi/2: y = 2sin(3pi/2) + cos(2*3pi/2) = 2(-1) + cos(3pi) = -2 + (-1) = -3
Untuk x = 2pi: y = 2sin(2pi) + cos(2*2pi) = 2(0) + cos(4pi) = 0 + 1 = 1

Dari nilai-nilai tersebut, nilai minimum mutlak adalah -3.