Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan pecahan berikut!

$-17 \le x < -4$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan pecahan $\\frac{2x-5}{x+4} \ge 3$, kita perlu memindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan perbandingan dengan nol.

$\\frac{2x-5}{x+4} - 3 \ge 0$

Samakan penyebutnya:

$\\frac{2x-5}{x+4} - \frac{3(x+4)}{x+4} \ge 0$

$\\frac{2x-5 - (3x+12)}{x+4} \ge 0$

$\\frac{2x-5-3x-12}{x+4} \ge 0$

$\\frac{-x-17}{x+4} \ge 0$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, kita perlu mencari titik kritis, yaitu nilai $x$ yang membuat pembilang atau penyebut sama dengan nol.

Pembilang: $-x-17 = 0 \implies -x = 17 \implies x = -17$.
Penyebut: $x+4 = 0 \implies x = -4$.

Titik-titik kritis ini membagi garis bilangan menjadi tiga interval: $(-\infty, -17]$, $[-17, -4)$, dan $(-4, \infty)$. Kita perlu menguji nilai $x$ dari setiap interval untuk melihat apakah pertidaksamaan $\\frac{-x-17}{x+4} \ge 0$ terpenuhi. Ingat bahwa $x \neq -4$ karena penyebut tidak boleh nol.

1. Interval $(-\infty, -17]$:
   Pilih $x = -18$. $\\frac{-(-18)-17}{-18+4} = \\frac{18-17}{-14} = \\frac{1}{-14} < 0$. Jadi, interval ini bukan solusi.

2. Interval $[-17, -4)$:
   Pilih $x = -10$. $\\frac{-(-10)-17}{-10+4} = \\frac{10-17}{-6} = \\frac{-7}{-6} = \\frac{7}{6} > 0$. Jadi, interval ini adalah solusi.

3. Interval $(-4, \infty)$:
   Pilih $x = 0$. $\\frac{-(0)-17}{0+4} = \\frac{-17}{4} < 0$. Jadi, interval ini bukan solusi.

Karena pertidaksamaan menyertakan 'sama dengan' ($\ge$), kita perlu memeriksa apakah nilai $x=-17$ (yang membuat pembilang nol) termasuk dalam solusi. Ya, $x=-17$ memenuhi pertidaksamaan karena hasilnya adalah 0, yang lebih besar atau sama dengan 0. Nilai $x=-4$ tidak termasuk karena membuat penyebut nol.

Jadi, penyelesaiannya adalah $-17 \le x < -4$.