Tentukan nilai n agar garis y=x+n dan lingkaran

Nilai n berada di antara (1 - sqrt(10)) / 2 dan (1 + sqrt(10)) / 2.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai n agar garis y=x+n memotong lingkaran x^2+y^2+x-1=0 di dua titik yang berlainan, kita perlu mensubstitusikan persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran.

Persamaan lingkaran: x^2 + y^2 + x - 1 = 0
Persamaan garis: y = x + n

Substitusikan y dari persamaan garis ke persamaan lingkaran:
x^2 + (x+n)^2 + x - 1 = 0
x^2 + (x^2 + 2nx + n^2) + x - 1 = 0
2x^2 + (2n+1)x + (n^2 - 1) = 0

Agar garis memotong lingkaran di dua titik yang berlainan, diskriminan (D) dari persamaan kuadrat tersebut harus lebih besar dari nol (D > 0).

Diskriminan D = b^2 - 4ac, di mana:
a = 2
b = 2n + 1
c = n^2 - 1

D = (2n + 1)^2 - 4(2)(n^2 - 1)
D = (4n^2 + 4n + 1) - 8(n^2 - 1)
D = 4n^2 + 4n + 1 - 8n^2 + 8
D = -4n^2 + 4n + 9

Sekarang, kita selesaikan ketidaksamaan -4n^2 + 4n + 9 > 0.
Untuk mempermudah, kita bisa mencari akar-akar dari persamaan -4n^2 + 4n + 9 = 0 menggunakan rumus abc:
n = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
n = [-4 ± sqrt(4^2 - 4(-4)(9))] / 2(-4)
n = [-4 ± sqrt(16 + 144)] / -8
n = [-4 ± sqrt(160)] / -8
n = [-4 ± 4*sqrt(10)] / -8
n = [1 ± sqrt(10)] / 2

Akar-akarnya adalah n1 = (1 - sqrt(10)) / 2 dan n2 = (1 + sqrt(10)) / 2.

Karena koefisien n^2 adalah negatif (-4), parabola terbuka ke bawah. Agar -4n^2 + 4n + 9 > 0, nilai n harus berada di antara kedua akar tersebut.

Jadi, nilai n agar garis memotong lingkaran di dua titik yang berlainan adalah (1 - sqrt(10)) / 2 < n < (1 + sqrt(10)) / 2.