Tentukan nilai n terkecil sedemikian sehingga jumlah n suku

Nilai n terkecil adalah 5.

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menemukan nilai n terkecil sehingga jumlah n suku pertama dari deret tak hingga 1 + 1/5 + 1/25 + ... kurang dari 1/1.000.

Deret yang diberikan adalah deret geometri tak hingga dengan suku pertama (a) = 1 dan rasio (r) = 1/5.

Rumus jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah Sn = a(1 - r^n) / (1 - r).

Dalam kasus ini, a = 1 dan r = 1/5. Jadi, Sn = 1 * (1 - (1/5)^n) / (1 - 1/5) = (1 - (1/5)^n) / (4/5) = (5/4) * (1 - (1/5)^n).

Kita ingin mencari nilai n terkecil sehingga Sn < 1/1.000.
(5/4) * (1 - (1/5)^n) < 1/1.000
1 - (1/5)^n < (1/1.000) * (4/5)
1 - (1/5)^n < 4/5.000
1 - (1/5)^n < 1/1.250

Sekarang, kita perlu mengisolasi (1/5)^n:
1 - 1/1.250 < (1/5)^n
1.249/1.250 < (1/5)^n

Untuk menyelesaikan ini, kita bisa menggunakan logaritma. Mengambil logaritma basis 10 (atau logaritma natural) pada kedua sisi:
log(1.249/1.250) < log((1/5)^n)
log(1.249) - log(1.250) < n * log(1/5)
log(1.249) - log(1.250) < n * (log(1) - log(5))
log(1.249) - log(1.250) < n * (0 - log(5))
log(1.249) - log(1.250) < -n * log(5)

Karena log(1.249) sedikit lebih kecil dari log(1.250), hasil pengurangan log(1.249) - log(1.250) akan negatif.
Mari kita hitung nilai kasarnya:
log(1.249) ≈ 0.0965
log(1.250) ≈ 0.0969
log(5) ≈ 0.6990

0.0965 - 0.0969 < -n * 0.6990
-0.0004 < -n * 0.6990

Sekarang, bagi kedua sisi dengan -0.6990. Ingat bahwa ketika membagi dengan bilangan negatif, arah ketidaksamaan berubah:
(-0.0004) / (-0.6990) > n
0.00057 > n

Ini tampaknya salah karena kita mencari nilai n agar (1/5)^n menjadi kecil, yang berarti n harus besar. Mari kita periksa kembali ketidaksamaan:
1 - (1/5)^n < 1/1.250
(1/5)^n > 1 - 1/1.250
(1/5)^n > 1.249/1.250

Ini juga tidak benar. Mari kita kembali ke langkah ini:
(5/4) * (1 - (1/5)^n) < 1/1.000
1 - (1/5)^n < (1/1.000) * (4/5)
1 - (1/5)^n < 4/5000
1 - (1/5)^n < 1/1250

Sekarang, kita ingin (1/5)^n menjadi sangat kecil agar 1 - (1/5)^n mendekati 1. Jadi, kita ingin:
(1/5)^n < 1 - (1/1250)
(1/5)^n < 1249/1250

Ini juga tidak benar, karena (1/5)^n akan selalu lebih kecil dari 1. Mari kita periksa kembali soalnya: "jumlah n suku pertama ... kurang dari 1/1.000".

Sn < 1/1.000
(5/4) * (1 - (1/5)^n) < 1/1.000
1 - (1/5)^n < (1/1.000) * (4/5)
1 - (1/5)^n < 4/5000
1 - (1/5)^n < 1/1250

Kita perlu (1/5)^n agar nilai 1 - (1/5)^n menjadi lebih kecil dari 1/1250.
Ini berarti (1/5)^n harus sangat dekat dengan 1. Ini adalah kontradiksi karena n yang semakin besar membuat (1/5)^n semakin kecil.

Ada kemungkinan ada kesalahan dalam pemahaman soal atau dalam soal itu sendiri. Namun, jika kita menginterpretasikan "kurang dari 1/1.000" sebagai nilai Sn itu sendiri yang harus kecil, mari kita coba pendekatan lain.

Jika kita menganggap bahwa deret tersebut harus mendekati nilai totalnya, yaitu S = a / (1 - r) = 1 / (1 - 1/5) = 1 / (4/5) = 5/4 = 1.25.

Kita mencari Sn < 1/1000.
(5/4) * (1 - (1/5)^n) < 1/1000
1 - (1/5)^n < (4/5) * (1/1000)
1 - (1/5)^n < 4/5000
1 - (1/5)^n < 1/1250

Ini berarti (1/5)^n harus lebih besar dari 1 - 1/1250 = 1249/1250.
(1/5)^n > 1249/1250

Ini adalah ketidaksetaraan yang tidak mungkin dipenuhi untuk nilai n positif karena (1/5)^n selalu kurang dari atau sama dengan 1/5 untuk n>=1.

Mari kita asumsikan maksud soal adalah agar perbedaan antara jumlah tak hingga (S) dan jumlah n suku pertama (Sn) lebih kecil dari 1/1.000. Perbedaan ini adalah S - Sn.
S - Sn = 5/4 - (5/4) * (1 - (1/5)^n)
S - Sn = 5/4 - 5/4 + (5/4) * (1/5)^n
S - Sn = (5/4) * (1/5)^n

Kita ingin S - Sn < 1/1.000
(5/4) * (1/5)^n < 1/1.000
(1/5)^n < (4/5) * (1/1.000)
(1/5)^n < 4/5000
(1/5)^n < 1/1250

Sekarang kita selesaikan untuk n:
log((1/5)^n) < log(1/1250)
n * log(1/5) < log(1) - log(1250)
n * (log(1) - log(5)) < -log(1250)
n * (-log(5)) < -log(1250)
-n * log(5) < -log(1250)

Bagi kedua sisi dengan -log(5) dan balik arah ketidaksamaan:
n > log(1250) / log(5)

Kita tahu bahwa log(1250) = log(2 * 625) = log(2 * 5^4) = log(2) + 4 * log(5).
Jadi, n > (log(2) + 4 * log(5)) / log(5)
n > log(2)/log(5) + 4

Menggunakan nilai logaritma:
log(2) ≈ 0.3010
log(5) ≈ 0.6990

n > 0.3010 / 0.6990 + 4
n > 0.4306 + 4
n > 4.4306

Karena n harus berupa bilangan bulat, nilai n terkecil yang memenuhi adalah n = 5.

Mari kita cek:
Jika n = 5, S5 = (5/4) * (1 - (1/5)^5) = (5/4) * (1 - 1/3125) = (5/4) * (3124/3125) = (5 * 3124) / (4 * 3125) = 15620 / 12500 = 1.2496.

Perbedaan S - S5 = 1.25 - 1.2496 = 0.0004 = 4/10000 = 1/2500.

Ini lebih kecil dari 1/1.000. Jadi, n=5 adalah jawaban yang benar jika interpretasinya adalah selisihnya yang kurang dari 1/1000.

Jika soal benar-benar berarti Sn < 1/1000, maka tidak ada solusi n yang positif karena Sn selalu positif dan mendekati 1.25.

Mengikuti interpretasi yang paling masuk akal dalam konteks soal matematika seperti ini, yaitu selisihnya yang harus kurang dari nilai yang diberikan.