Tentukan nilai n yang membuat 2^8+2^11+2^n menjadi kuadrat

n = 12

Pembahasan

Kita ingin mencari nilai n sehingga 2^8 + 2^11 + 2^n menjadi kuadrat sempurna. Sebuah bilangan adalah kuadrat sempurna jika ia dapat dinyatakan sebagai k^2 untuk suatu bilangan bulat k.

Mari kita sederhanakan ekspresi tersebut:
2^8 + 2^11 + 2^n = 2^8 + 2^3 * 2^8 + 2^n
                  = 2^8 (1 + 2^3) + 2^n
                  = 2^8 (1 + 8) + 2^n
                  = 2^8 * 9 + 2^n
                  = (2^4)^2 * 3^2 + 2^n
                  = (2^4 * 3)^2 + 2^n
                  = (16 * 3)^2 + 2^n
                  = 48^2 + 2^n

Kita ingin 48^2 + 2^n = k^2.
Maka, 2^n = k^2 - 48^2
2^n = (k - 48)(k + 48)

Karena hasil kali dua bilangan adalah pangkat dari 2, maka kedua bilangan tersebut haruslah pangkat dari 2.
Misalkan k - 48 = 2^a dan k + 48 = 2^b, dengan b > a dan a + b = n.

Kurangkan kedua persamaan:
(k + 48) - (k - 48) = 2^b - 2^a
96 = 2^b - 2^a
96 = 2^a (2^(b-a) - 1)

Kita tahu bahwa 96 = 32 * 3 = 2^5 * 3.
Jadi, 2^5 * 3 = 2^a (2^(b-a) - 1).

Dari sini, kita dapat menyimpulkan:
2^a = 2^5  => a = 5
2^(b-a) - 1 = 3  => 2^(b-5) - 1 = 3
                 => 2^(b-5) = 4
                 => 2^(b-5) = 2^2
                 => b - 5 = 2
                 => b = 7

Sekarang kita dapat menemukan nilai n:
n = a + b
n = 5 + 7
n = 12

Mari kita cek apakah dengan n=12, ekspresi tersebut menjadi kuadrat sempurna:
2^8 + 2^11 + 2^12 = 2^8 (1 + 2^3 + 2^4)
                  = 2^8 (1 + 8 + 16)
                  = 2^8 (25)
                  = (2^4)^2 * 5^2
                  = (2^4 * 5)^2
                  = (16 * 5)^2
                  = 80^2

Jadi, nilai n yang membuat 2^8 + 2^11 + 2^n menjadi kuadrat sempurna adalah 12.