Tentukan nilai-nilai integral berikut integral dx/(x^2-25)

Hasil integralnya adalah $\frac{1}{10} \ln\left|\frac{x-5}{x+5}\right| + C$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral $\int \frac{dx}{x^2-25}$, kita bisa menggunakan metode dekomposisi pecahan parsial. Pertama, faktorkan penyebutnya:
$x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$.

Sekarang kita nyatakan pecahan $\frac{1}{x^2-25}$ sebagai jumlah dua pecahan parsial:
$\frac{1}{x^2-25} = \frac{A}{x-5} + \frac{B}{x+5}$

Untuk mencari nilai $A$ dan $B$, kita samakan kedua sisi:
$1 = A(x+5) + B(x-5)$

Kita bisa mencari $A$ dan $B$ dengan dua cara:
Metode 1: Substitusi nilai $x$.
- Jika $x = 5$: $1 = A(5+5) + B(5-5) \implies 1 = 10A \implies A = \frac{1}{10}$.
- Jika $x = -5$: $1 = A(-5+5) + B(-5-5) \implies 1 = -10B \implies B = -\frac{1}{10}$.

Metode 2: Menyamakan koefisien.
$1 = Ax + 5A + Bx - 5B$
$1 = (A+B)x + (5A-5B)$

Menyamakan koefisien $x$: $A+B = 0 \implies B = -A$.
Menyamakan konstanta: $5A - 5B = 1$.
Substitusikan $B = -A$ ke persamaan kedua:
$5A - 5(-A) = 1
5A + 5A = 1
10A = 1
A = \frac{1}{10}$.
Karena $B = -A$, maka $B = -\frac{1}{10}$.

Jadi, dekomposisi pecahannya adalah:
$\frac{1}{x^2-25} = \frac{1/10}{x-5} - \frac{1/10}{x+5}$

Sekarang kita integralkan:
$\int \frac{dx}{x^2-25} = \int \left( \frac{1/10}{x-5} - \frac{1/10}{x+5} \right) dx$
$= \frac{1}{10} \int \frac{1}{x-5} dx - \frac{1}{10} \int \frac{1}{x+5} dx$
$= \frac{1}{10} \ln|x-5| - \frac{1}{10} \ln|x+5| + C$
$= \frac{1}{10} (\ln|x-5| - \ln|x+5|) + C$
$= \frac{1}{10} \ln\left|\frac{x-5}{x+5}\right| + C$.