Tentukan nilai-nilai p agar kedua akar persamaan: a.

a. 2 < p ≤ (4 + 2√13)/3, b. p < -4 atau 1 < p ≤ 5

Pembahasan

Untuk menentukan nilai-nilai p agar kedua akar persamaan kuadrat memiliki sifat tertentu, kita perlu mempertimbangkan diskriminan (D) dan hubungan antara akar-akar.

a. (p-2)x^2 - (p+2)x + p+1 = 0.
Agar kedua akar positif, syaratnya adalah:
1. Diskriminan (D) ≥ 0: D = b^2 - 4ac = (-(p+2))^2 - 4(p-2)(p+1) ≥ 0
   (p^2 + 4p + 4) - 4(p^2 - p - 2) ≥ 0
   p^2 + 4p + 4 - 4p^2 + 4p + 8 ≥ 0
   -3p^2 + 8p + 12 ≥ 0
   3p^2 - 8p - 12 ≤ 0
Mencari akar dari 3p^2 - 8p - 12 = 0 menggunakan rumus kuadratik: p = [8 ± sqrt(64 - 4*3*(-12))] / 6 = [8 ± sqrt(64 + 144)] / 6 = [8 ± sqrt(208)] / 6 = [8 ± 4*sqrt(13)] / 6 = [4 ± 2*sqrt(13)] / 3.
Jadi, intervalnya adalah ([4 - 2*sqrt(13)]/3) ≤ p ≤ ([4 + 2*sqrt(13)]/3).
2. Jumlah akar (x1 + x2) > 0: x1 + x2 = -(b/a) = -(-(p+2))/(p-2) = (p+2)/(p-2) > 0.
   Ini terjadi ketika p > 2 atau p < -2.
3. Hasil kali akar (x1 * x2) > 0: x1 * x2 = c/a = (p+1)/(p-2) > 0.
   Ini terjadi ketika p > 2 atau p < -1.

Menggabungkan ketiga syarat tersebut:
Dari D ≥ 0, sekitar -0.73 ≤ p ≤ 3.4.
Dari jumlah akar > 0, p > 2 atau p < -2.
Dari hasil kali akar > 0, p > 2 atau p < -1.
Irisan dari ketiga kondisi ini adalah 2 < p ≤ (4 + 2*sqrt(13))/3.

b. (p+4)x^2 + 2(p+1)x + p-1 = 0.
Agar kedua akar negatif, syaratnya adalah:
1. Diskriminan (D) ≥ 0: D = (2(p+1))^2 - 4(p+4)(p-1) ≥ 0
   4(p^2 + 2p + 1) - 4(p^2 + 3p - 4) ≥ 0
   (p^2 + 2p + 1) - (p^2 + 3p - 4) ≥ 0
   p^2 + 2p + 1 - p^2 - 3p + 4 ≥ 0
   -p + 5 ≥ 0
   p ≤ 5.
2. Jumlah akar (x1 + x2) < 0: x1 + x2 = -(2(p+1))/(p+4) < 0.
   (p+1)/(p+4) > 0.
   Ini terjadi ketika p > -1 atau p < -4.
3. Hasil kali akar (x1 * x2) > 0: x1 * x2 = (p-1)/(p+4) > 0.
   Ini terjadi ketika p > 1 atau p < -4.

Menggabungkan ketiga syarat tersebut:
Dari D ≥ 0, p ≤ 5.
Dari jumlah akar < 0, p > -1 atau p < -4.
Dari hasil kali akar > 0, p > 1 atau p < -4.
Irisan dari ketiga kondisi ini adalah p < -4 atau 1 < p ≤ 5.